Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência

∑ n = 1 ∞ n ! n n x - 2 n

Passo 1

Vamos começar achando o raio de convergência dessa série, para isso vamos aplicar o teste da razão na forma simplificada para séries de potências.

c n = n ! n n

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! n + 1 n + 1 n n n ! =

lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 1 n n + 1 n n 1 = lim n → ∞ ⁡ n n n + 1 n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 n   = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n n =

Lembrando que

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Temos

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n n = 1 lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = 1 e

Como R = 1 / L , temos

R = 1 1 / e = e

Passo 2

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em a = 2 sabemos que esse intervalo vai ser

a - R , a + R = 2 - e , 2 + e

Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora vamos descobrir nas extremidades.

Passo 3

Primeiro para

x = 2 + e

A série vai ficar

∑ n = 1 ∞ n ! n n 2 + e - 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n e n

Esse cara é feio demais para imaginar qualquer coisa.

Essa é uma série alternada, vamos fazer o teste da série alternada, aqui temos

a n = n ! e n n n

Temos que ver se esse cara é decrescente e se o seu limite vai para 0 .

Derivar essa parada vai ser levemente monstra né? Vamos tentar comparar b n com b n + 1

a n + 1 = n + 1 ! e n + 1 n + 1 n + 1

Arrumando isso

a n + 1 = n ! e n + 1 n + 1 n

Vamos analisar a razão entre esse caras

a n + 1 a n = n ! e n + 1 n + 1 n n ! e n n n = e n + 1 n n

Repara que quando maior o n mais aquele cara se aproxima do limite exponencial, que é

lim n → ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Então temos que

a n + 1 a n → 1

A dúvida aqui é se isso vai se aproximando por números por cima ou por baixo de 1 , se for por cima teremos algo assim

a n + 1 a n > 1

E essa parada vai ser crescente

Se for por baixo temos

a n + 1 a n < 1

E ela vai ser decrescente.

Temos que analisar

1 + 1 n n

A medida que n cresce esse valor cresce também, porque isso é um exponencial meio esquisito, assim como esse valor começar em 2 com n = 1 temos

1 + 1 n n → e -

Isso nos diz que

e e - > 1

Então

a n + 1 a n > 1

Isso nós diz que se aumenta o n , aumenta o termo geral, dessa forma

lim n → ∞ ⁡ a n > 0

E pelo teste da série alternada ela diverge.

Passo 4

Vamos fazer agora

x = 2 - e

A série vai ficar

∑ n = 1 ∞ n ! n n 2 - e - 2 n = ∑ n = 1 ∞ n ! n n - 1 n e n

Essa é uma série alternada, temos que analisar os critérios da série alternada.

Primeiro, vamos repara que temos

b n = n ! e n n n

Vimos ali em cima que esse limite não é zero. Além disso, também vimos que o termo geral b n é crescente. Ou seja, essa série vai ser divergente

Passo 5

O intervalo de convergência vai ser

2 - e , 2 + e

Resposta

2 - e , 2 + e

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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