Se a série de potências ∑ k = 1 ∞ c k - 1 k 8 k diverge, então é correto afirmar que

  1. A série ∑ c k x k diverge para x > 8
  2. A série ∑ c k x k   converge para x = 8
  3. A série ∑ c k x k   converge para x < 8
  4. A série ∑ c k x k   converge para x ≤ 8
  5. A série ∑ c k x k diverge para x ≥ 8

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa série aqui

∑ k = 1 ∞ c k - 1 k 8 k

E disse uma informação muito importante sobre ela: essa série converge

Em seguida deu várias afirmativas, e perguntou quais delas são verdadeiras. Mas como assim concluir sobre a convergência de outras séries com base nessa aí?

Isso mesmo, estamos falando em uma série convergente e, aplicando o teste da razão, podemos determinar o qual o raio de convergência! E assim tirar informações muito poderosas sobre outras séries! Tudo que estiver dentro do raio de convergência: converge! O que estiver fora, diverge! E o que estiver no limite, precisamos avaliar!

Então a ideia é achar o raio de convergência da série dada e depois avaliar item a item para ver o que conseguimos concluir!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A série dada foi essa aqui

∑ k = 1 ∞ c k - 1 k 8 k

Aplicando o teste da razão para convergência absoluta podemos encontrar o raio de convergência

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k . - 1 k + 1 8 k + 1 - 1 k 8 k < 1

Como essa série converge, sabemos que esse limite é < 1 . Tranquilo? Simplificando - 1 k 8 k e comparando com um raio de convergência | x | temos

lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k . - 8 = lim k → ∞ ⁡ c k + 1 c k . x < 1

Vemos que x = 8 nesse caso! Então sabemos que se x estiver nesse intervalo, a série é convergente!

Beleza?

Concluímos que para qualquer x que esteja dentro do intervalo entre - 8 e 8 a série resultante é convergente! Sabemos também que em x = - 8 a série converge, pois é o que está descrito no enunciado, mas não podemos afirmar nada sobre x = 8 !

Passo 3

Agora vamos relembrar das alternativas:

Dentro do raio de convergência nossa série converge, sendo assim, a alternativa (c) está correta

Fora do raio de convergência nossa série diverge: então a alternativa (a) está correta

Podemos afirmar algo sobre exatamente nos extremos do intervalo? Podemos afirmar apenas em x = - 8 , mas em x = 8 não! Isso porque precisamos conhecer a cara de c k para poder avaliar a série, e sem isso fica impossível!

Então descartamos todas as alternativas que dizem “maior/menor ou igual a tal”, pois não podemos afirmar quanto àquele igual!

Sendo assim, apenas as alternativas (a) e (c) estão corretas!

Ufa, terminamos! #partiu praticar mais?

Resposta

a ,   ( c )

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n