2. Encontre uma representação em série de Maclaurin para a f ( x ) e determine o raio de convergência.

  1. f x = x 16 + x

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema o enunciado nos dá uma função f ( x ) e ele nos pede a série de Maclaurin. Essa série é a série de Taylor só que centrada em x = 0 , ok? Então a representação que a gente tá buscando é essa aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n  

Então o que a gente tem que fazer é calcular uma série de derivadas de ordem superior e ver se existe algum padrão para encontrar

f n ( 0 )

Certo?

Para a gente determinar o raio de convergência, como vamos ter uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ c n x n    

A gente calcula essa razão daqui

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E o raio de convergência vai ser dado por R = 1 / L . Beleza?

Então vamos ver esse nosso caso em que f x = x 16 + x  

Partiu!!

Passo 2

Vamos começar calculando algumas derivadas da nossa função e buscar um padrão: f x = x 16 + x f 1 x = 16 16 + x 2  

f 2 x = - 32   16 + x 3 f 3 x = 96 16 + x 4

OPA!!! Estamos vendo um padrãozinho surgindo? Vamos ver essas funções para x = 0

f 0 = 0 f 1 0 = 16 16 2 = 1 16  

f 2 0 = - 32   16 3 =   - 16 × 2 16 3 =   - 2 16 2 f 3 0 = 96 16 4 = 16 × 6 16 4 = 6 16 3

Epa! Aqui ficou até mais evidente o padrão? Olha só como a potência de 16 do denominador acompanha a ordem da derivada... Além disso, no numerador a gente observa que tem um fatorial surgindo né? Discorda? Eu posso escrever a derivada de ordem 3 como sendo:

f 3 0 =   6 16 3 = 3 ! 16 3

Além disso a gente observa que o sinal dos termos se alterna. Quando temos uma derivada de ordem ímpar, temos um sinal positivo e quando temos uma derivada de ordem par, temos um sinal negativo. Dessa maneira, a gente consegue padronizar essa derivada para a ordem n dessa forma aqui: f n 0 = - 1 n + 1 n ! 16 n

Concordam??

Passo 3

Com a derivada de ordem n obtida, podemos usar a expressão da série de Maclaurin:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n  

Então a nossa função tem a representação:

x 16 + x =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 n ! 16 n n ! x n  

Simplificando e arrumando um pouco temos a série: x 16 + x =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 16 n   x n    

Passo 4

Como obtemos uma série de potências com essa cara aqui:

∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 16 n   x n   =   ∑ n = 0 ∞ c n x n    

Então a gente pode escrever que:

c n = - 1 n + 1 16 n  

Dessa maneira: c n + 1 c n = - 1 n + 2 16 n + 1   - 1 n + 1 16 n  

Arrumando um pouco ficamos com:

c n + 1 c n = - 1 16

Com isso, o limite que a gente tem para calcular é igual a

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n =   lim n → ∞ ⁡ - 1 16 = 1 16

Então L = 1 16 e

R = 1 L = 16

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

x 16 + x =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n + 1 16 n   x n  

R = 16

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n