Para cada série de potência abaixo calcular o raio de convergência e o intervalo de convergência:

a) ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 1 n 5 n n 5

b) ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x + 4 n n

Passo 1

a) Cara, repara que o nosso termo geral é um produto de dois termos. E esses dois termos tem no expoente o n . Isso é uma dica para usarmos o teste da raiz.

Ele diz que se a nossa série tem um termo geral a n . Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n n = lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = L

E 0 ≤ L < 1 então a série converge, mas se L > 1 , então a série diverge. Vamos avaliar então para que intervalo a gente tem L < 1 .

Vamos tentar aplicar isso na nossa série!

Passo 2

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x - 1 n 5 n n 5

Então o termo geral dela é

a n = - 1 n - 1 x - 1 n 5 n n 5

Tirando o módulo disso e depois a raiz, esse termo com menos 1 some e o expoente do outro termo também vai mudar

a n 1 n = - 1 n - 1 x - 1 n 5 n n 5 1 n = x - 1 1 5 ⋅ n 5 n

Aplicando o limite

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = lim n → ∞ ⁡ x - 1 1 5 ⋅ n 5 n = x - 1 5 1 lim n → ∞ ⁡ n 5 n

Passo 3

Vamos resolver esse limite que ficou ali aplicando l n e depois uma exponencial. Aí não muda a expressão, só a cara dela

lim n → ∞ ⁡ n 5 n = lim n → ∞ ⁡ e ln ⁡ n 5 n = lim n → ∞ ⁡ e 5 n ln ⁡ n = e lim n → ∞ ⁡ 5 n ln ⁡ n

lim n → ∞ ⁡ 5 n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 5 → ∞ ∞ ∴ lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n n 5 → L ' H → lim n → ∞ ⁡ 1 / n 1 / 5 = 0

lim n → ∞ ⁡ n 5 n = e lim n → ∞ ⁡ 5 n ln ⁡ n = e 0 = 1

lim n → ∞ ⁡ a n 1 n = x - 1 5 1 lim n → ∞ ⁡ n 5 n = x - 1 5

Passo 4

Para termos uma série convergente, precisamos que esse resultado seja menor que 1:

x - 1 5 < 1 ∴ x - 1 < 5

Daí a gente tira que nosso raio de convergência é R = 5 . E nele a série converge absolutamente. O intervalo de convergência a gente acha fazendo umas continhas com o centro dessa série, no caso C = 1 .

x 1 = C - R = 1 - 5 = - 4

x 2 = C + R = 1 + 5 = 6

Agora a gente precisa ver se a nossa série nesses pontos converge absolutamente também ou não para saber se temos um intervalo fechado ou aberto. Como queremos saber se nesses pontos, a série converge absolutamente, vamos colocar o módulo no termo geral, tá?

- Limitante inferior do intervalo: x 1 = - 4

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 4 - 1 n 5 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 5 n 5 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 1 n 5 n 5 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n - 1 1 n 5

= ∑ n = 1 ∞ 1 n 5

E isso é uma p-série com p > 1 , então ela converge.

- Limitante superior do intervalo: x = 6

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 6 - 1 n 5 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 5 n 5 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 5

E isso é uma p-série com p > 1 também, então ela converge.

Aí a gente pode dizer que nosso raio de convergência é R = 5 . E que o intervalo de convergência é - 4,6 , um intervalo fechado, beleza?

Passo 5

b) Cara, a gente não tem muitos termos elevado a n aqui, só - 1 n - 1 e x + 2 n :

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 x + 4 n n

Vamos usar então o teste da razão. Ele diz que se a nossa série tem um termo geral a n . Se fizermos

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

E 0 ≤ L < 1 então a série converge, mas se L > 1 , então a série diverge. Vamos avaliar então para que intervalo a gente tem L < 1 .

Vamos tentar aplicar isso na nossa série!

Passo 6

Então o termo geral a n dela é

a n = - 1 n - 1 x + 4 n n

E a n + 1 fica

a n = - 1 n x + 4 n + 1 n + 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n x + 4 n + 1 n + 1 - 1 n - 1 x + 4 n n = lim n → ∞ ⁡ x + 4 n x + 4 n + 1 x + 4 n n = lim n → ∞ ⁡ x + 4 n n + 1

= x + 4 lim n → ∞ ⁡ n n + 1

E aí a gente calcula esse limite

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n n   1 1 + 1 n = lim n → ∞ ⁡   1 1 + 1 n = 1 1 + 0 = 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = x + 4

Passo 7

Para termos uma série convergente, precisamos que esse resultado seja menor que 1:

x + 4 < 1

Daí a gente tira que nosso raio de convergência é R = 1 . E nele a série converge. O intervalo de convergência a gente acha fazendo umas continhas com o centro dessa série, no caso C = - 4 .

x 1 = C - R = - 4 - 1 = - 5

x 2 = C + R = - 4 + 1 = - 3

Agora a gente precisa ver se a nossa série nesses pontos converge também ou não para saber se temos um intervalo fechado ou aberto.

- Limitante inferior do intervalo: x 1 = - 5

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 5 + 4 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 1 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n - 1 1 n = - ∑ n = 1 ∞ 1 n

O expoente do - 1 , fica ímpar, então ali só dá - 1 . E isso é uma p-série com p ≤ 1 , então ela diverge. (essa é a série harmônica)

- Limitante superior do intervalo: x = - 3

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 - 3 + 4 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 1 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n

Essa série converge condicionalmente (a gente pode usar o teste da série alternada nela para provar).

Aí a gente pode dizer que nosso raio de convergência é R = 1 . E que o intervalo de convergência é - 5 , - 3 , beleza?

Obs: Percebe que na letra a) a gente testou a convergência absoluta dos extremos do intervalo (colocando os módulos em a n ), mas aqui a gente não fez isso? É porque nessa letrinha, nossas séries não tinham convergência absoluta, então a gente foi procurar logo a condicional.

Na prova cê faz assim: testa as séries para ver se tem convergência absoluta, se não tiver, testa a condicional, usando esse teste da série alternada, tá bem?

Resposta

a) R = 5 ,   - 4,6

b)   R = 1 , - 5 , - 3

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n