Encontre o intervalo de convergência da série ∑ n = 1 ∞ 1 2 n x - 1 n . Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.

Passo 1

Ih caramba, que somatório feioso! Sério mesmo, olha quanta coisa aqui:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n x - 1 n

Mas galera, uma coisa importante desse somatório é que como ele ocorre em função de n , o x ta ali só pra atrapalhar. Alguns valores que ele assumir vão tornar a série convergente, outros divergente. Vamos ver quais? Pra isso, aplicando o teste da razão, temos que, para:

a n = 1 2 n x - 1 n

A série converge se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Po, então substituindo no limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ x - 1 n + 1 2 ∙ n + 1 x - 1 n 2 n < 1

lim n → ∞ ⁡ x - 1 n + 1 2 ∙ n + 1 ∙ 2 n x - 1 n < 1

Simplificando esse limite feioso, temos:

lim n → ∞ ⁡ x - 1 1 ∙ n n + 1 < 1

Tirando do limite tudo que não tem a ver com n :

x - 1 ∙ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 < 1

x - 1 ∙ lim n → ∞ ⁡ n ∙ 1 n ∙ 1 + 1 n < 1

x - 1 ∙ lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n < 1

E finalmente, aplicando o limite, temos:

x - 1 ∙ 1 1 + 1 ∞ < 1

x - 1 ∙ 1 1 + 0 < 1

x - 1 < 1

E olha só! Agora podemos achar um intervalo de convergência pra x . Só abrir o módulo:

- 1 < x - 1 < 1

0 < x < 2

Esse, no entanto, não é nosso intervalo de convergência real, pois falta testarmos as extremidades dele, ok? Bora lá.

Passo 2

Bem galera, parece que acabou, mas não conhecemos a convergência da série exatamente nos extremos do intervalo encontrado! Bora achar então. Começando com x = 0 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n 0 - 1 n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n - 1 n =

= 1 2 ∙ ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

A série que sobrou é quase a série harmônica! Ela é, na verdade, a série harmônica alternada. Pra saber se esse cara converge ou diverge podemos usar o Critério de Leibniz, que diz que, dada uma série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n   b n

Onde, no nosso caso, b n = 1 n , a série vai convergir se:

b n + 1 ≤ b n     p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ b n = 0

E galera, não é que nosso b n satisfaz as duas condições? Afinal:

1 n + 1 ≤ 1 n

É o mesmo que:

n + 1 ≥ n

1 ≥ 0

O que, bem, é verdade hahaha e de fato, temos que:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n = 1 ∞ = 0

Show, mas e pra x = 2 , como fica? Vamos ver?

∑ n = 1 ∞ 1 2 n 2 - 1 n = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n 1 n =

= 1 2 ∙ ∑ n = 1 ∞ 1 n

E galera, temos aí a Série Harmônica mesmo. Apesar do seu irmão ali em cima convergir, esse ai diverge. Sendo assim, o intervalo de convergência real da nossa série será:

0 ≤ x < 2

Resposta

Intervalo real de convergência será para 0 ≤ x < 2

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