Após explicitar a série de Taylor de f x = ln ⁡ x centrada em a = 2 , determine o raio de convergência.

Passo 1

Para determinar o raio de convergência, vamos usar o teste da razão. Antes de aplicá-la, vamos recordar:

Dada uma série de portência:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n

Se lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L , então o seu raio de convergência é R = 1 L

Lembrado da teoria, vamos para a resolução.

Passo 2

Para começar, vamos manipular a série de Taylor encontrada para ficar no formato:

∑ n = 0 ∞ c n x - a n

∑ n = 0 ∞ - 1 n ( x - 2 2 ) n + 1 n + 1 =   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 2 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 )

= ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 2 1 x - 2 n 2 n + 1 ( n + 1 )

Assim, temos que c n =   - 1 n ( x - 2 ) 2 n + 1 ( n + 1 ) e, portanto c n + 1 = - 1 n + 1 ( x - 2 ) 2 n + 2 ( n + 2 ) .

Aplicando o limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 ( x - 2 ) 2 n + 2 ( n + 2 )   .   2 n + 1 ( n + 1 ) - 1 n ( x - 2 )  

= lim n → ∞ ⁡ - 1 n - 1 2 n 2 1 ( n + 1 ) 2 n 2 2 n + 2 - 1 n =   lim n → ∞ ⁡ ( - 1 ) ( n + 1 ) 2 ( n + 2 )

lim n → ∞ ⁡ - 1   n 1 + 1 n 2   n 1 + 2 n = 1 2

Se L = 1 2 , então R = 2 . Logo, o raio de convergência é 2.

Resposta

R = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n