(Capítulo 11.9 – Exercício 17) Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

f x = x 3 x - 2 2

Passo 1

Vamos pra mais uma?

Temos uma função f ( x ) e aí queremos escrever essa função no formato de série de potências, assim

∑ c n . x - a n

Ou seja, queremos mudar a forma que olhamos pra essa função

E aí, precisamos encontrar o raio de convergência dessa série de potências

Lembrando aqui: o intervalo de convergência vai incluir os valores de x em que a série não vai explodir lá pro , sacou? Já o raio de convergência é basicamente a distância do centro da série até um extremo do intervalo de convergência

Passo 2

Vamos lá, temos a função

f x = x 3 x - 2 2

Podemos reescrevê-la como um produto:

f x = x 3 x - 2 2 = x 3 . 1 x - 2 2

Vamos olhar só para a fração por enquanto ok?

Agora a gente vai ter que ser muito muito mente aberta e lembrar lááá das principais derivadas em cálculo 1

Quando temos algo do tipo 1 a - x 2 , pela regra do quociente, isso é a derivada de 1 a - x

Então

1 x - 2 2 = 1 2 - x 2 = 1 2 - x '

(lembrando que x - 2 2 = ( 2 - x ) ² )

Então, temos

1 x - 2 2 = d d x 1 2 - x

Dividindo tudo por 2:

1 x - 2 2 = d d x 1 2 1 - x 2

Opaaa, isso já ta ficando interessante hehehe

Passo 3

Dentro da derivada, temos algo no estilo

c 1 - d

Ou seja, um valor c dividindo 1 - alguma coisa

Isso parece muito a representação de uma série com o resultado assim:

a 0 1 - r

Em que a 0 é o primeiro termo da série e r é a razão:

∑ n = 0 ∞ a 0 . r n = a 0 . 1 1 - r ,     r < 1

Então:

1 2 1 - x 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 2 . x 2 n ,     x 2 < 1

Substituindo na derivada:

1 x - 2 2 = d d x 1 2 1 - x 2

1 x - 2 2 = d d x ∑ n = 0 ∞ 1 2 x 2 n

1 x - 2 2 = d d x ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x n

Como a derivada é só em relação a x , podemos deixar só ele lá dentro:

1 x - 2 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 × d d x x n

A derivada de x n é n . x n - 1 , então:

1 x - 2 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 n x n - 1

Passo 4

Para voltarmos a f x , é só multiplicar a série por x 3 , né? (lembrando lá do passo 2)

f x = x 3 1 x - 2 2

f x = ∑ n = 0 ∞ n 2 n + 1 ( x n - 1 x 3 )

f x = ∑ n = 0 ∞ n 2 n + 1 x n + 2

Passo 5

Como a razão da série geométrica que usamos era x 2   , pra série convergir devemos ter:

x 2 < 1

x < 2

- 2 < x < 2

Então o raio de convergência é R = 2

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ n 2 n + 1 x n + 2

R = 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n