Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique provando as verdadeiras e apresentando um contraexemplo para as falsas

    S e   ∑ n = 1 ∞ c n x - a n tem raio de convergência R , então as séries   ∑ n = 1 ∞ n c n x - a n - 1   e   ∑ n = 1 ∞ c n n + 1 x - a n + 1 também tem raio de convergência   R    

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos mostrar que se essa série tem raio de convergência R

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

Essas outras aqui

∑ n = 1 ∞ n c n x - a n - 1

E essa também

∑ n = 1 ∞ c n n + 1 x - a n + 1

Tem o mesmo raio! Você lembra o que é raio de convergência?

Quando temos uma série de potências, o valor de x pode variar, e com isso resultar em uma série numérica divergente! E não queremos isso!

Aí surge o conceito de raio de convergência: é a distância em torno da qual a série é feita (no nosso caso em torno de a ), na qual qualquer valor de x que pegarmos irá resultar em uma série convergente

Mas você lembra como encontrar esse tal de raio de convergência?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!

Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ a n x n

Dizemos que ela é convergente se

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x < 1

Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de x isso acontece!

Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será x < R !

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série inicial é a seguinte

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

Sabemos que ela converge, então

a n + 1 a n = c n + 1 x - a n + 1 c n x - a n   = c n + 1 c n x - a

E o limite é < 1

ρ = x - a . lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n ⏝ A < 1

Assim o raio de convergência é

x - a . A = R

Tranquilo até aqui?

Agora precisamos fazer uma análise parecida com as outras duas séries!

Beleza?

Passo 3

Agora nossa missão é avaliar se essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n c n x - a n - 1

possui o mesmo raio de convergência. Vamos proceder de forma similar: calcular a razão a n + 1 a n e simplificar:

a n + 1 a n = ( n + 1 ) c n + 1 x - a n n c n x - a n - 1   = n + 1 n c n + 1 c n x - a

Agora avaliar o limite quando n → ∞

lim   n → ∞ ⁡ n + 1 n c n + 1 c n x - a

Como o limite do produto é o produto dos limites, podemos separar em dois limites: um que a gente conhece o resultado (em termos de c n ) e outro apenas em termos de n e que podemos calcular:

lim   n → ∞ ⁡ n + 1 n . x - a .   lim   n → ∞ ⁡ c n + 1 c n ⏝ A < 1

Beleza?

Precisamos ainda calcular aquele limite mais à esquerda (como n é só positivo, podemos retirar o módulo):

lim   n → ∞ ⁡ n + 1 n = ⏝ ∞ ∞ = L ' H lim   n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Oba! Temos que nosso limite é realmente menor do que 1 , então podemos dizer que esse é o raio de convergência

x - a . A = R

E é igual ao da primeira série!

Passo 4

Por fim precisamos testar a terceira série:

∑ n = 1 ∞ c n n + 1 x - a n + 1

a n + 1 a n = c n + 1 n + 2 x - a n + 2 c n n + 1 x - a n + 1   = n + 1 n + 2 c n + 1 c n x - a

Agora avaliar o limite quando n → ∞

lim   n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 c n + 1 c n x - a

Podemos separar em dois outros limites, bem como fizemos no passo 4 :

lim   n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 . x - a lim   n → ∞ ⁡ c n + 1 c n ⏝ A < 1

Tranquilo até aqui?

Vamos calcular o limite mais à esquerda em separado (retirando o módulo pois só temos n positivo)

lim   n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 = ⏝ ∞ ∞ = L ' H lim   n → ∞ ⁡ 1 1 = 1

Estamos nos encaminhando para o fim! Retornando ao nosso limite vemos que é igual ao das outras séries! Então vemos que o raio de convergência é o mesmo!

lim   n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 ⏝ = 1 . x - a lim   n → ∞ ⁡ c n + 1 c n ⏝ A < 1

x - a A = R

Provamos que a afirmação está correta!

Passo 5

Recapitulando, nossa série:

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

Essas outras aqui:

∑ n = 1 ∞ n c n x - a n - 1

∑ n = 1 ∞ c n n + 1 x - a n + 1

Possuem o mesmo raio de convergência

Você percebe que a segunda série é a derivada da primeira e a terceira é a integral da primeira?

Isso mesmo! Todas as derivadas e integrais da série vão ter o mesmo raio de convergência! Isso é um teorema bem interessante da gente saber!

Ufa, terminamos! #partiu praticar mais?

Resposta

v e r d a d e i r o

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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