Encontre o intervalo de convergência da série

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n   3 n    

Passo 1

Para encontrar o intervalo de convergência da série, vamos fazer assim:

2 x + 1 n = 2 x + 1 2 n = 2 n x + 1 2 n

Passo 2

Substituindo,

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n   3 n = ∑ n = 1 ∞ 2 n x + 1 2 n n   3 n

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n   3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n   2 3 n x + 1 2 n

Passo 3

Daí, fazemos assim: chamamos de c n o coeficiente

c n = 1 n   2 3 n

De modo que o Teste da Razão nos fornece:

L = lim n → ∞ ⁡   c n + 1 c n

L = lim n → ∞ ⁡   1 n + 1   2 3 n + 1 1 n   2 3 n

L = lim n → ∞ ⁡   n n + 1   2 3   = 2 3

Passo 4

Portanto, o raio de convergência é dado por

R = 1 L = 3 2

Assim, o intervalo de convergência é entre os pontos x 0 ± R . Lembrando lá de cima do x + 1 2 n que x 0 = - 1 / 2 , teremos:

x 0 - R < x < x 0 + R

- 1 2 - 3 2 < x < - 1 2 + 3 2

- 2 < x < 1

Passo 5

O último passo é verificar a convergência da série nos extremos:

Para x = - 2 :

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n   3 n   x = - 2 = ∑ n = 1 ∞ - 3 n n   3 n    

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n   3 n   x = - 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n      

Esta é uma série alternada com termo geral tendendo a zero. É, pois, convergente.

Passo 6

Para x = 1 :

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n   3 n   x = 1 = ∑ n = 1 ∞ 3 n n   3 n

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n   3 n   x = 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 n    

Pelo teste da Integral, ∫ 1 ∞ 1 x d x = ln ⁡ x 1 ∞ = ∞ , então a série diverge.

Finalmente, concluímos que o intervalo de convergência é I = [ - 2 ,   1 ) .

Resposta

I = [ - 2 ,   1 ) .

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