13 - Determine o raio e o intervalo de convergência das séries:

n) ∑ n = 0 ∞ 2 x + 3 2 n + 1 n !

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada uma série de potência e nosso objetivo é calcular o raio e o intervalo de convergência.

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Nesse caso, como temos um fatorial no denominador, para determinar o raio e o intervalo de convergência temos que aplicar o teste da razão.

O teste da razão de uma série ∑ n = 0 ∞ a n consiste em calcular o limite de a n + 1 a n , ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Para a série convergir, o resultado do limite tem que ser menor que 1 dessa forma vamos obter uma função de x em um intervalo numérico e esse intervalo resulta no intervalo de convergência da série.

Nas bordas do intervalo temos que analisar separadamente para observar se há convergência.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso a série é dada por

∑ n = 0 ∞ 2 x + 3 2 n + 1 n !

Aplicando o teste da razão chegamos em

lim n → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 n + 1 + 1 n + 1 ! · n ! 2 x + 3 2 n + 1

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 n + 1 + 2 n + 1 ! · n ! 2 x + 3 2 n + 1

lim n → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 n + 1 · 2 x + 3 2 n + 1 · n ! · n ! 2 x + 3 2 n + 1

lim n → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 n + 1

Fazendo n → ∞ , chegamos em

lim n → ∞ ⁡ 2 x + 3 2 n + 1 = 2 x + 3 2 ∞

Como esse resultado tem que ser maior que 1 para a série convergir, temos

x 2 ∞ < 1

Perceba que para essa inequação ser verdadeira, x pode assumir qualquer valor, portanto o intervalo de convergência é

- ∞ < x < ∞

Com o raio

R = ∞

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

R = ∞

- ∞ < x < ∞

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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