Dadas as séries

A   ∑ n = 1 ∞ 100 3 n n 2 x 2 n

B   ∑ n = 1 ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ ( 3 n - 1 )   x n

considere as afirmações:

(I) (A) converge para - 3 < x < 3 , (B) diverge para x > 3 / 2 .

(II) (A) converge para - 3 < x < 3 , (B) diverge para x > 3 / 2 e x < - 3 / 2 .

(III) (A) diverge para x > 3 , (B) diverge para x < - 3 / 2 .

(IV) (A) converge para x > 3 , (B) converge para - 3 2 < x < 3 2 .

Podemos afirmar que são corretas:

a) Apenas (IV).

b) Apenas (I) e (III).

c) Apenas (II) e (IV).

d) Apenas (III).

e) Todas são falsas.

Passo 1

Fala pessoal, prontos para uma questão sobre séries de potência da POLI? Partiu!!!

O problema forneceu duas séries de potência e quer que achemos para quais valores de x cada uma converge. Vamos começar pela primeira série:

∑ n = 1 ∞ 100 3 n n 2 x 2 n

O termo geral dessa série é

a n = 100 3 n n 2 x 2 n ⇒ a n + 1 = 100 3 n + 1   n + 1 2   x 2 n + 2

Assim,

a n + 1 a n = 100 3 n + 1   n + 1 2   x 2 n + 2 ⋅ 3 n 100   n 2   x 2 n = n + 1 2   x 2 n   x 2 ⋅ 3 n 3 n ⋅ 3 ⋅ n 2 ⋅ x 2 n = n + 1 n 2 x 2 3

Portanto,

L = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 n 2 x 2 3 = x 2 3

Pelo teste da razão, a série será convergente se L < 1 e divergente se L > 1 . Para que ela seja convergente:

x 2 3 < 1 ⇒ - 3 < x < 3

E será divergente para

x < - 3             e             x > 3

Para x = ± 3 não podemos afirmar nada ainda!

Passo 2

Vamos ver agora o que acontece com a série (A) quando x = ± 3 . Note que

x 2 n = x 2 n = 3 n

Assim,

a n = 100 3 n n 2 x 2 n = 100 3 n n 2 3 n = 100 n 2

Quando n → ∞ , a n → ∞ . Portanto, como o termo geral não tende a zero, a série é divergente! Com isso, temos que a série (A) converge para

- 3 < x < 3

e diverge para

x ≤ - 3             e             x ≥ 3

O intervalo de convergência é ] - 3 ,   3 [ e o raio de convergência é R = 2 3 .

Passo 3

Agora vamos olhar para a segunda série:

B   ∑ n = 1 ∞ 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ ( 3 n - 1 )   x n

O termo geral dessa série é

b n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ ( 2 n - 1 ) 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ ( 3 n - 1 )   x n

Assim,

b n + 1 = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ( 2 n + 2 - 1 ) 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 1 ( 3 n + 3 - 1 )   x n + 1

Portanto,

b n + 1 b n = 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1 ( 2 n + 1 ) 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ 3 n - 1 ( 3 n + 2 )   x n + 1 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ … ⋅ ( 3 n - 1 ) 1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ … ⋅ 2 n - 1   x n

Logo,

b n + 1 b n = 2 n + 1 3 n + 2 x

Desta forma,

L = lim n → ∞ ⁡ b n + 1 b n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 3 n + 2 x = 2 3 x

Para que a série seja convergente:

2 3 x < 1 ⇒ - 3 2 < x < 3 2

Para x > 3 2 ou x < - 3 2 ela será divergente pois L > 1 .

Passo 4

Já conseguimos ir para as afirmativas. A (I) diz que (A) converge para - 3 < x < 3 , (B) diverge para x > 3 / 2 , o que é verdade!

Já a (II) diz que (A) converge para - 3 < x < 3 , (B) diverge para x > 3 / 2 e x < - 3 / 2 , o que é falso pois o intervalo de convergência de (A) está errado!

A afirmativa (III) fala que (A) diverge para x > 3 , (B) diverge para x < - 3 / 2 , o que é verdadeiro. Por fim, a afirmativa (IV) diz que (A) converge para x > 3 , (B) converge para - 3 2 < x < 3 2 , que é mentira pois (A) não converge para x > 3 .

Com isso, vemos que apenas as afirmativas (I) e (III) são verdadeiras, o que nos leva a alternativa B!

Resposta

Alternativa B.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n