3. Julgue em C para os itens corretos e E para os errados. Justificando os itens corretos e corrigindo os errados.

c) Se 0 < p < 1 , então o intervalo de convergência da série de potências ∑ n = 0 ∞ x n n + 3 p é - 3,3 .

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema o enunciado nos dá uma série de potências

∑ n = 0 ∞ x n n + 3 p

Com 0 < p < 1 e ele afirma que o intervalo de convergência dessa série é - 3,3 . A gente vai ter que testar essa afirmação calculando esse intervalo de convergência, ok?

A série que o problema nos dá tem essa cara aqui:

∑ n = 1 ∞ c n x - a n    

Com c n = 1 / n + 3 p . Com isso a gente também percebe que a nossa série é centrada em a = 0 .

A gente vai ter que encontrar o raio de convergência R = 1 / L encontrando esse L através do teste da razão: lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E com ele a gente encontra o intervalo de convergência dessa série.Então vem comigo que a gente vai aprender isso é agora!!

#partiu

Passo 2

Vamos começar calculando esse limite aqui: lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n =   lim n → ∞ ⁡ 1 n + 4 p 1 n + 3 p = lim n → ∞ ⁡ n + 3 n + 4 p

Calculando esse limite, a gente tem:

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = 1 p

Para os valores de p que nos deram, isso sempre vai resultar em 1 então L = 1

E também o raio de convergência fica R = 1 L = 1

Beleza!

Passo 3

Agora que a gente tem o raio de convergência, a gente tem que ver sobre o intervalo de convergência. Esse raio de convergência dos diz os possíveis valores de x ao redor de onde a série está centrada a = 0 em que a série é convergente. A gente tem uma estrutura tipo essa aqui:

O que a gente não pode esquecer é que naqueles pontos em branco a - R e a + R (os extremos do intervalo) a gente tem que dar uma atenção maior, ok?

Usando a = 0   e R = 1 temos o intervalo

- 1 < x < 1

Agora a gente tem que ver se esses extremos fazendo parte do intervalo de convergência também, beleza? A gente faz isso substituindo esses valores na série que foi dada ∑ n = 0 ∞ x n n + 3 p

E a gente observa se ela converge ou não!

Passo 4

Para x =   - 1 temos a série

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n + 3 p = 1 3 p - 1 4 p + 1 5 p - 1 6 p + ⋯

Que é uma série alternada: ∑ n = 0 ∞ - 1 n b n

Com b n = 1 n + 3 p . Como 0 < p < 1 , temos que o b n satisfaz as condições: b n + 1 ≤ b n   p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ b n = 0

E isso significa que essa série é convergente!!

Então x =   - 1 entra no intervalo de convergência.

Passo 5

Para x = 1 temos a série

∑ n = 0 ∞ 1 n + 3 p = 1 3 p + 1 4 p + 1 5 p + 1 6 p + ⋯

Para ver se essa série é convergente ou não, vamos comparar com a p-série.

Como sabemos que

1 n + 3 p <   1 n p  

E que 0 < p < 1 , como a p-série:

∑ n = 0 ∞ 1 n p

É convergente para esses valores de p então a série

∑ n = 0 ∞ 1 n + 3 p

Também é convergente! Ou seja, x = 1 também entra no intervalo de convergência.Dessa maneira, o intervalo se torna: - 1 ≤ x ≤ 1

Que é diferente daquele que o enunciado nos dá ☹

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

c )   ( E ) - 1 ≤ x ≤ 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n