Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

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f x = x 2 tan - 1 ⁡ ( x 3 )

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = x 2 tan - 1 ⁡ ( x 3 )

Para isso, devemos analisar uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Sabendo dessa função a gente pode manipular a nossa função para descobrirmos a nossa série (de forma que a nossa série tenha uma integral equivalente)!!

Em seguida, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série que descobriremos.

Para isso, devemos analisar a razão da série geométrica resultante na expressão geral da nossa série e fazer seu módulo ser menor que 1 (para a série convergir).

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Para encontrar a série de potência de f x = x 2 tan - 1 ⁡ ( x 3 ) , vamos dividir o problema em duas partes.

Primeiro vamos encontrar a série de potência de tan - 1 ⁡ x 3 , que seu resultado é bem próximo da série de potência de tan - 1 ⁡ x .

Reescrevendo a função tan - 1 ⁡ x para que possamos comparar com a nossa função exemplo e manipulando de forma que coloquemos uma integral, temos:

f x = ∫ 1 1 + x 2 d x = ∫ 1 - x 2 + x 4 - x 6 + … d x = C + x - x 3 3 + x 5 5 - x 7 7 + …

Fazendo x = 0 , temos que C = 0 .

Logo:

tan - 1 ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1

Dessa forma, tan - 1 ⁡ x 3 é:

tan - 1 ⁡ x 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 2 n + 1 2 n + 1

Passo 3

Como queremos a série de potência de x 2 tan - 1 ⁡ ( x 3 ) , então multiplicamos os dois lados da igualdade por x 2 :

x 2 tan - 1 ⁡ x 3 = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 2 n + 1 2 n + 1 ∴

x 2 tan - 1 ⁡ x 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 * x 6 n + 3 2 n + 1 ∴

x 2 tan - 1 ⁡ x 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 5 2 n + 1

Passo 4

Agora, para determinar o raio de convergência, temos:

R = lim n → ∞ ⁡ c n c n + 1 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 2 2 n + 1 ∴

R = lim n → ∞ ⁡ 2 n 1 + 1 n n 2 + 1 n ∴

R = lim n → ∞ ⁡ 2 1 + 1 n 2 + 1 n ∴

R = 1

Ou seja, o raio de convergência é R = 1 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

x 2 tan - 1 ⁡ x 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 6 n + 5 2 n + 1

R = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n