Determine o intervalo de convergência da série abaixo:

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n + 3

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece ser complicada, mas vou resolver passo a passo com você! Beleza?

O problema nos deu uma série de potências:

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n + 3

E perguntou qual é o raio de convergência!

Mas o que é raio de convergência de uma série?

Supondo uma séria escrita nesse formato aqui

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

O intervalo de convergência é o intervalo na reta dos x onde essa série seria convergente. Por exemplo, supondo que essa série só vai convergir quando x estiver entre - 1 e 1 :

x < 1 é o intervalo de convergência! E o raio de convergência? É a distância entre o centro da série até um dos extremos. Aqui o raio seria R = 1 .

Para verificar se os extremos pertencem ao intervalo (bolinha fechada) ou não (ou aberta) basta substituir cada extremo na série e analisar o comportamento. Se for divergente então nesse ponto o intervalo é aberto. Se a série for convergente, então o intervalo ali é fechado.

Beleza?

Mas e como calculamos esse raio de convergência? Pelo reste da razão das séries alternadas!

Se a série estiver escrita nesse formato:

∑ n = 1 ∞ c n x - a n

Então vamos calcular L :

L = lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n

E então o raio de convergência será R :

R = 1 L

E o intervalo? Bom, aí é só fazer + R e - R a partir do centro da série:

I = a - R ; a + R

Obs.: não esquece de verificar se o intervalo é aberto ou fechado! (aqui deixei ele aberto! Mas precisamos verificar, ok?)

Então a ideia para resolver essa questão é o seguinte:

  • Escrever a série no formato ∑ c n x - a n
  • Determinar c n ,   c n + 1 e a razão c n + 1 / c n
  • Calcular o limite dessa razão no infinito
  • Com o valor do limite L , calcular o raio de convergência e o intervalo
  • Por fim, testar os extremos do intervalo.

Beleza?

Mas calma, vou fazer passo a passo com você! Vamos lá?

Passo 2

A série dada foi:

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n + 3

A primeira coisa a se fazer é escrever essa série no formato ∑ c n x - a n . Para isso, vou colocar em evidência o 2 dentro dos parênteses:

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n + 3 = ∑ n = 1 ∞ 2 n x + 1 2 n n + 3

Assim a série está centrada em

x + 1 2 = 0 ∴ x = - 1 / 2

Beleza?

Passo 3

Agora precisamos determinar c n ,   c n + 1 e a razão c n + 1 / c n .

Nossa série é

∑ n = 1 ∞ 2 n x + 1 2 n n + 3

Então c n é tudo que multiplica o termo x + 1 2 n no somatório:

c n = 2 n n + 3

Para achar c n + 1 basta substituir n por ( n + 1 ) :

c n + 1 = 2 n + 1 n + 1 + 3 = 2 n + 1 n + 4

Beleza?

Agora vamos calcular a razão c n + 1 / c n :

c n + 1 c n = 2 n + 1 n + 4 2 n n + 3 = 2 n + 1 n + 4   . n + 3 2 n

c n + 1 c n = 2 n + 3 n + 4

Beleza?

Passo 4

O próximo passo é calcular o limite dessa razão no infinito (e aqui pode usar e abusar de todas as técnicas que você viu lá em cálculo 1):

L = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 n + 4 = ∞ ∞

Como nos deparamos com uma indeterminação, vou aplicar a regra de L’Hopital. É só derivar em cima, derivar embaixo e avaliar de novo o limite.

L = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 3 ' n + 4 ' = lim n → ∞ ⁡ 2 1 = 2

L = 2

Com o valor do limite, podemos determinar o raio e o intervalo de convergência!

Tranquilo?

Passo 5

Agora que achamos o limite, podemos encontrar o raio de convergência:

R = 1 L = 1 2

E o intervalo vai ser, somando e subtraindo o valor do raio, do centro da série (que vimos lá no passo 2 que esta série é centrada em x = 1 / 2 ):

I = a - R ; a + R

I = - 1 2 - 1 2 ;   - 1 2 + 1 2 = - 1 ; 0

Beleza? Já determinamos o intervalo de convergência, mas não sabemos se os extremos pertencem ou não ao intervalo, então precisamos testar!

Passo 6

Nosso próximo passo é testar os extremos! Primeiro vamos testar x = - 1 :

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n + 3

Fazendo x = - 1 temos 2 . - 1 + 1 n = - 1 n e a série fica assim:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 3

Caímos em uma série alternada, então para analisar seu comportamento, vamos relembrar as condições do teste da série alternada:

Vamos analisar primeiro o limite no infinito:

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 3 = 1 ∞ = 0

Oba! A primeira condição já foi satisfeita! Agora vamos verificar a segunda:

a 1 = 1 4

a 2 = 1 5

a 3 = 1 6

E assim por diante... então podemos ver que a n + 1 < a n , satisfazendo, portanto, a segunda condição do teste!

n = 1 - 1 n n + 3

é convergente e isso significa que x = - 1 pertence sim ao nosso intervalo de convergência!

Beleza?

Vamos testar o outro lado?

Passo 7

Agora precisamos substituir x = 0 na série de potências:

∑ n = 1 ∞ 2 x + 1 n n + 3

Daí temos

∑ n = 1 ∞ 1 n + 3

Encontramos a n = 1 n + 3 . Como esse termo geral é decrescente, então podemos aplicar o teste da integral!

Esse teste nos diz que:

a n é decrescente (você pode verificar isso analisando o sinal da derivada de a n : deriva e verifica que essa derivada é negativa para n > 1 , beleza?), partiu integrar!

a n = f ( n ) = 1 n + 3

E agora trocar n → x

f x = 1 x + 3

E integrar:

∫ 1 ∞ 1 x + 3 d x = ln ⁡ x + 3 1 ∞ = ln ⁡ ∞ - ln ⁡ 4 = ∞  

Essa integral diverge. Logo, a séria também diverge. Isso significa que x = 0 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 8

Recapitulando:

O intervalo que encontramos é:

I = ( - 1 ; 0 )

Vimos que em x = - 1 a série numérica é convergente e que em x = 0 ela é divergente. Então o intervalo é fechado em - 1 e aberto em 0 :

I = [ - 1 ; 0 )

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

I = [ - 1 ; 0 )

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