Determine o intervalo de convergência da série de potências:

∑ n = 1 ∞ 2 x - 6 n n 3 n

Passo 1

Bom, primeiro vamos mudar um pouca a cara da nossa série.

∑ n = 1 ∞ 2 x - 6 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ 2 n x - 3 n n 3 n

Ou seja, temos uma série de potências centrada em x = 3 com

a n = 2 n n 3 n

Para achar o raio de convergência R vamos usar o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 3 n + 1 ⋅ n 3 n 2 n

lim n → ∞  ⁡ 2 3 ⋅ n n 1 + 1 n = 2 3

Então, temos que

R = 3 2

Passo 2

Portanto,

x - 3 < 3 2 ⇒ - 3 2 < x - 3 < 3 2

⇒ 3 2 < x < 9 2

Então a série converge nesse intervalo.

Passo 3

Vamos verificar nos extremos do intervalo agora.

Para x = 3 2 :

∑ n = 1 ∞ - 3 n n 3 n = 3 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 n

E usando o teste das séries alternadas temos que a série converge, pois

b n + 1 = 1 n + 1 3 n + 1 ≤ 1 n 3 n = b n

Já que n + 1 3 n + 1 ≥   n 3 n .

E

lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 n = 0

Passo 4

Para x = 9 2 :

∑ n = 1 ∞ 3 n n 3 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Que sabemos da teoria que diverge!

Portanto, o intervalo de convergência da série é dado por:

3 2 , 9 2

Resposta

3 2 , 9 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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