Determine para quais valores de x ∈ R a série converge:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n x 3 n  

Passo 1

Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter

∑ n = 1 ∞ a n x - a n

Mas temos um 3 n n o expoente ali, então temos que usar o teste da razão completo.

Vamos ter

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 2 n + 1 x 3 n + 1 . n 2 n x 3 n = lim n → ∞ ⁡ x 3 n + 3 n + 1 2 n + 1 . n 2 n x 3 n =

lim n → ∞ ⁡ x 3 n n + 1 2 = x 3 2 lim n → ∞ ⁡ n n + 1

Podemos arrumar aquele limite ali em cima

x 3 2 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = x 3 2 lim n → ∞ ⁡ n n 1 + 1 n = x 3 2 lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n = x 3 2

Passo 2

Assim temos que, pelo teste da razão

x 3 2 < 1

A série converge, ou seja,

x 3 < 2

- 2 < x 3 < 2

- 2 3 < x < 2 3

Como o teste da razão pega o modulo do cara não faz diverença ser a n ou a n , assim se a série converge ela converge absolutamente, se ela diverge ela diverge mesmo.

Assim temos o nosso intervalo de convergência absoluta, temos que ver nos extremos

Passo 3

Começando com

x = - 2 3

Vamos ter

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n - 2 3 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 3 n 2 n n 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 3 n n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Essa é uma série alternada, vamos analisar se ela converge condicionalmente, absolutamente ou diverge.

Primeiro vamos analisar a série dos termos em módulo

∑ n = 1 ∞ - 1 n n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Essa é uma p série com p = 1 então ela diverge.

Vamos ver agora a série alternada mesmo

∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Para isso vamos usar o teste da série alternada, temos que ver se b n é decrescente e o seu limite vai para 0 quando n → ∞ com

b n = 1 n

E esse é tranquilo de ver os dois, quanto maior o n menor o denominador então é decrescente e o limite vai para 0 porque teríamos algo assim 1 / ∞ = 0 , então ela converge condicionamente para x = - 2 3

Passo 4

Agora vamos para

x = 2 3

Vamos ter

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n 2 3 3 n = ∑ n = 1 ∞ 2 n n 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Essa é uma p série com p = 1 então diverge

Passo 5

Assim vamos ter

C o n v e r g e   A b s o l u t a m e n t e ⇒ x ∈ - 2 3 , 2 3 C o n v e r g e   C o n d i c i o n a l m e n t e ⇒ x = - 2 3 D i v e r g e ⇒ x ∈ - ∞ , - 2 3 ∪ 2 3 , + ∞

Resposta

C o n v e r g e   A b s o l u t a m e n t e ⇒ x ∈ - 2 3 , 2 3 C o n v e r g e   C o n d i c i o n a l m e n t e ⇒ x = - 2 3 D i v e r g e ⇒ x ∈ - ∞ , - 2 3 ∪ 2 3 , + ∞

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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