2. Encontre uma representação em série de Maclaurin para a f ( x ) e determine o raio de convergência.

b) f x = x e 2 x 2

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Nesse problema o enunciado nos dá uma função f ( x ) e ele nos pede a série de Maclaurin. Essa série é a série de Taylor só que centrada em x = 0 , ok? Então a representação que a gente tá buscando é essa aqui:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n  

Então o que a gente tem que fazer é calcular uma série de derivadas de ordem superior e ver se existe algum padrão para encontrar

f n ( 0 )

Para a gente determinar o raio de convergência, como vamos ter uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ c n x n    

A gente calcula essa razão daqui

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

E o raio de convergência vai ser dado por R = 1 / L . Beleza?

Então vamos ver esse nosso caso em que f x = x e 2 x 2  

Partiu!!

Passo 2

Vamos começar calculando algumas derivadas da nossa função e buscar um padrão: f x = x e 2 x 2 f 1 x = e 2 x 2 + 4 x 2 e 2 x 2

f 2 x =   12 x   e 2 x 2 +   16   x 3 e 2 x 2 f 3 x =   12   e 2 x 2 +   96   x 2 e 2 x 2 +   64   x 4 e 2 x 2

f 4 x =   240   x   e 2 x 2 +   640   x 3 e 2 x 2 +   256   x 5 e 2 x 2

Tô vendo padrão nenhum kkkkk Vamos ver se melhora quando olhamos essas funções para x = 0

f 0 = 0 f 1 0 = 1  

f 2 0 = 0 f 3 0 = 12

f 4 0 = 0 f 5 0 = 240

A gente consegue observar uma coisa... as derivadas de ordem par são todas iguais a zero. AS ímpares tem um padrãozinho escondido. Olha só: f 3 0 = 12 = 4 × 3 = 2 2 × 3

f 5 0 = 240 = 16 × 15 = 2 4 × 5 × 3

Já dá para supor que

f 7 0 = 2 6 × 7 × 5 × 3

f n 0 = 2 n n ‼

Onde n ‼ é o fatorial duplo: n ‼ = n n - 2 n - 4 n - 6 ⋯

E isso só vale para n ímpar hein!!!

Passo 3

Bom... Escrever uma cara para essa série pode não ser muito intuitivo de cara. Então, nesses casos, vale a pena a gente escrever alguns termos da série de Maclaurin e ver se a gente consegue escrever uma formula para eles. Abrindo alguns valores da série temos:

f x = f 0 + f 1 0 1 ! x + f 2 0 2 ! x 2 + f 3 0 3 ! x 3 + ⋯

Usando o que a gente sabe sobre a cara das derivadas dessa função, temos: x e 2 x 2 = x + 12 6 x 3 + 240 120 x 5 + 6720 5040 x 7 + ⋯

x e 2 x 2 = x + 2 x 3 + 2 x 5 + 4 3 x 7 + ⋯

Opa!! A gente pode escrever o seguinte: x e 2 x 2 =   ∑ n = 0 ∞ c n x 2 n + 1

Justamente pois quando tivermos n = 0 temos uma potência de x , para n = 1 temos x 3 e por aí vai, certo? Isso é bem padrão quando nos deparamos com uma série em que os expoentes de x são todos ímpares.Bom, resta agora descobrir uma cara para c n

Passo 4

Bom, a gente tem o seguinte: c 0 = 1

c 1 = 2 c 2 = 2   c 3 = 4 3

Usando o que a gente observou olhando as derivadas, a gente tem que, por exemplo, c 1 está ligado com f 3 c 1 = f 3 0 3 ! = 2 2 × 3 3 × 2 = 2 = 2 1 1 !  

A mesma coisa acontece com c 2 e f 5

c 2 = f 5 0 5 ! = 2 4 × 5 × 3 5 × 4 × 3 × 2 = 2 2 2 !

Então a gente sabe que

c 3 = f 7 0 7 ! = 2 6 × 7 × 5 × 3 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 = 2 6 6 × 2 3 = 2 3 3 !

E a fórmula geral de c n   fica: c n = 2 n n !

Dessa maneira, a série fica representada como: x e 2 x 2 =   ∑ n = 0 ∞ c n x 2 n + 1 x e 2 x 2 =   ∑ n = 0 ∞ 2 n n !   x 2 n + 1

Passo 5

Agora a gente vai encontrar o raio de convergência. Como a gente obteve esse cara aqui:

c n = 2 n n !

Vamos calcular esse limite

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n =   lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 n + 1 ! 2 n n ! =   lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ 2 n + 1 = 0

Então L = 0 e

R = 1 L = ∞

E temos um raio infinito de convergência, ou seja, essa série é sempre convergente!

E aí resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

x e 2 x 2 =   ∑ n = 0 ∞ 2 n n !   x 2 n + 1 R = ∞

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n