1 – Determine a série de Maclaurin da função f x = c o s 2 x , assim como o intervalo de convergência absoluta de tal série.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão estamos interessados em obter a série de Maclaurin para a função f x = c o s 2 x e também o intervalo de convergência dessa série.

E aí! Como podemos fazer isso? 🤔

Podemos obter essa série manipulando a função f x já que não sabemos qual e a série de Maclaurin para c o s 2 x mas sabemos para cos ⁡ x , não é?

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Correto? 😁

Passo 2

Agora se escrevermos f x como

f x = c o s 2 x = 1 + cos ⁡ 2 x 2

f x = 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x

Podemos obter o resultado de maneira mais fácil.

Se

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n 2 n !

Então a série para cos ⁡ 2 x é

cos ⁡ 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 x 2 n 2 n !

Reescrevemos 2 x 2 n como 2 2 n · x 2 n

cos ⁡ 2 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n 2 n !

Substituindo em f x , vamos obter

f x = 1 2 + 1 2 cos ⁡ 2 x

f x = 1 2 + 1 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n x 2 n 2 n !

Escrevendo 1 2 como 2 - 1 e passando para dentro do somatório, temos

f x = 1 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n 2 - 1 x 2 n 2 n !

Como a b a c = a b + c , então...

f x = 1 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n - 1 x 2 n 2 n !

E essa é a série de Maclaurin que estamos procurando! 😉

Passo 3

Agora para obter o intervalo de convergência vamos aplicar o teste da razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = P

Se P > 1 a série diverge, se P < 1 a série converge e se P = 1 , não podemos dizer nada.

l i m n → ∞ - 1 n + 1 2 2 n + 1 - 1 x 2 n + 1 2 n + 1 ! - 1 n 2 2 n - 1 x 2 n 2 n ! = P

l i m n → ∞ - 1 n - 1 1 2 2 n + 1 x 2 n + 2 2 n + 2 ! - 1 n 2 2 n - 1 x 2 n 2 n ! = P

Vamos simplificar e escrever o primeiro termo de 2 n + 2 ! . Fazendo 2 n + 2 ! = 2 n + 2 · 2 n - 1 + 2 !

l i m n → ∞ - 1 n - 1 1 2 2 n 2 1 x 2 n x 2 2 n + 2 · 2 n - 1 + 2 ! - 1 n 2 2 n 2 - 1 x 2 n 2 n ! = P

l i m n → ∞ - 1 n - 1 1 2 2 n 2 1 x 2 n x 2 2 n + 2 2 n ! - 1 n 2 2 n 2 - 1 x 2 n 2 n ! = P

Perceba que podemos cortar - 1 n , 2 2 n , x 2 n e 2 n ! Resultando em

l i m n → ∞ - 1 1 2 1 x 2 2 n + 2 2 - 1 1 = P

l i m n → ∞ - 2 x 2 2 n + 2 2 - 1 = P

l i m n → ∞ - 2 x 2 n + 1 = P

Assim, temos que se P deve ser < 1 então

2 x 2 ∞ + 1 < 1

2 x 2 < ∞

Portanto, o intervalo de convergência para essa série é dado por - ∞ < x < ∞

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f x = 1 2 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 2 n - 1 x 2 n 2 n ! ;     - ∞ < x < ∞

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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n