Encontre o intervalo de convergência da série ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 x - 2 n . Não esqueça de testar os extremos do intervalo, se for o caso.

Passo 1

Ih caramba, que somatório feioso! Sério mesmo, olha quanta coisa aqui:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 x - 2 n

Mas galera, uma coisa importante desse somatório é que como ele ocorre em função de n , o x ta ali só pra atrapalhar. Alguns valores que ele assumir vão tornar a série convergente, outros divergente. Vamos ver quais? Pra isso, aplicando o teste da razão, temos que, para:

a n = 1 2 n + 7 x - 2 n

A série converge se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Po, então substituindo no limite, temos:

lim n → ∞ ⁡ x - 2 n + 1 2 n + 1 + 7 x - 2 n 2 n + 7 < 1

lim n → ∞ ⁡ x - 2 n + 1 2 n + 2 + 7 ∙ 2 n + 7 x - 2 n < 1

Simplificando esse limite feioso, temos:

lim n → ∞ ⁡ x - 2 1 ∙ 2 n + 7 2 n + 9 < 1

Tirando do limite tudo que não tem a ver com n :

x - 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 n + 7 2 n + 9 < 1

x - 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ n ∙ 2 + 7 n n ∙ 2 + 9 n < 1

x - 2 ∙ lim n → ∞ ⁡ 2 + 7 n 2 + 9 n < 1

E finalmente, aplicando o limite, temos:

x - 2 ∙ 2 + 7 ∞ 2 + 9 ∞ < 1

x - 2 ∙ 2 + 0 2 + 0 < 1

x - 2 < 1

E olha só! Agora podemos achar um intervalo de convergência pra x . Só abrir o módulo:

- 1 < x - 2 < 1

1 < x < 3

Esse, no entanto, não é nosso intervalo de convergência real, pois falta testarmos as extremidades dele, ok? Bora lá.

Passo 2

Bem galera, parece que acabou, mas não conhecemos a convergência da série exatamente nos extremos do intervalo encontrado! Bora achar então. Começando com x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 1 - 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 7

Pô galera, achamos uma série alternada, né não? Pra saber se esse cara converge ou diverge podemos usar o Critério de Leibniz, que diz que, dada uma série alternada:

∑ n = 1 ∞ - 1 n   b n

Onde, no nosso caso, b n = 1 2 n + 7 , a série vai convergir se:

b n + 1 ≤ b n     p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ b n = 0

E galera, não é que nosso b n satisfaz as duas condições? Afinal:

1 2 n + 1 + 7 ≤ 1 2 n + 7

1 2 n + 9 ≤ 1 2 n + 7

É o mesmo que:

2 n + 9 ≥ 2 n + 7

9 ≥ 7

O que, bem, é verdade hahaha e de fato, temos que:

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 7 = 1 ∞ = 0

Então taí, convergente! Mas e pra x = 3 , como fica? Dá uma olhada:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 3 - 2 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 n + 7

= ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7

Pra achar se esse cara converge ou não, podemos usar o teste da comparação no limite, ok galera? Afinal, sabemos que:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Nossa querida série harmônica, diverge, então, seja:

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 7 = ∑ n = 1 ∞ a n

∑ n = 1 ∞ 1 n = ∑ n = 1 ∞ b n

Teremos:

a n = 1 2 n + 7

b n = 1 n

Segundo o teste da comparação no limite, temos que, se:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = C > 0

Então a n ,   b n divergem ambas ou convergem ambas. Bora fazer o limite então! Vamos ter:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 7 1 n = lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 7 =

Colocando em cima e em baixo n em evidência, ficamos com:

= lim n → ∞ ⁡ n ∙ 1 n ∙ 2 + 7 n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 7 n =

Aplicando o limite, temos:

= 1 2 + 7 ∞ = 1 2 + 0 = 1 2

Opa! Então, de fato, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = 1 2 > 0

O que garante que, como b n = 1 n , nossa série harmônica, diverge, então a série da nossa questão, que é o a n , vai divergir também! Feshow povo! O intervalo de convergência real da nossa série será:

1 ≤ x < 3

Resposta

Intervalo real de convergência será para 1 ≤ x < 3

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