Passo 1

Vamos aplicar o critério da razão para descobrir o intervalo de x para convergência e divergência.

Assim:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 3 n + 1 x - 3 n + 1 n + 2 2 2 n + 2 ⋅ n + 1 2 2 n + 1 3 n - 2 x - 3 n = x - 3 2

Vamos lá agora devemos aplicar o critério, assim temos:

  1. x - 3 < 2 a série converge
  2. x - 3 > 2 a série diverge
  3. x - 3 = 2 então para x =   1   e   x =   5 o teste é inconclusivo, logo deve-se aplicar outro teste.

Passo 2

Vamos analisar a série para x = 5 :

∑ n = 1 ∞ 3 n - 2 n + 1 2 2

Veja que o grau de n no denomidador é dois e no numerador é 1. Vamos então comparar no limite com 1 n . Então:

lim n → ∞ ⁡ 3 n - 2 n + 1 2 2 1 n = 3 2  

Assim a série diverge pois 1 n também é divergente.

Passo 3

Vamos agora analisar para x = 1

∑ n = 1 ∞ - 1 n ( 3 n - 2 ) n + 1 2 2

Veja que o modulo do termo geral dessa série já foi visto para x = 5 e vimos que ela diverge, logo a série não converge absolutamente.

Então devemos analisar a convergência condicional e para isso vamos utilizar o critério de Leibniz.

Vamos primeiro ver se o termo geral tende a zero:

lim n → ∞ ⁡ 3 n - 2 n + 1 2 2 = 0

Vamos ver que agora se a função é decrescente:

f ' x = 3 x + 1 2 - 3 x - 2 ⋅ 2 ( x + 1 ) ( x + 1 ) 4 =   7 - 3 x x + 1 3  

Logo:

f x é decrescente para x > 7 3 .

Assim, temos que para n ≥ 3 a série atende ao critério de Leibniz e a série é convergente

Resposta

Converge condicionalmente. É convergente no intervalo [ 1,5 [

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n