3 . Escreva as seguintes funções como uma série de potências em torno de zero e encontre seu raio de convergência:

i .   f x = 1 2020 x

i i .   g x = e x

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão!

Para transformar essas funções em séries vamos usar dois meios diferentes um para função.

Para a função ( i ) vamos usar as séries geométricas, vamos tentar escrever essa função da forma:

1 1 - x

Já que:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

Para a função ( i i ) vamos usar a série de Maclaurin, que é bem dizer a série de Taylor só que centrada em zero, ela é da seguinte forma:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( 0 ) n ! x n

Para achar o raio de convergência, vamos usar o teste da razão

onde temos que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Vamos aplicar isso ao que temos.

Passo 2

Vamos começar com ( i ) . Temos o seguinte:

f x = 1 2020 x = 1 2020 1 x

Podemos escrever 1 x da seguinte forma:

f ( x ) = 1 2020 1 1 - 1 - ( - x )

= 1 2020 1 1 - ( 1 - x )

Comparando com o termo da série geométrica, temos:

1 2020 1 1 - ( 1 - x ) = 1 2020 ∑ n = 0 ∞ 1 - x n = 1 2020 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n

Passo 3

Agora vamos calcular o raio de convergência dessa série. Temos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 1 n + 1 2020 ⋅ 2020 - 1 n x - 1 n

= lim n → ∞ ⁡ - 1 1 x - 1 1

Assim temos que:

x - 1 < 1

Logo o raio de convergência é R = 1 .

Passo 4

Agora para o ( i i ) .

Temos essa função aqui:

g x = e x

Usando a série de Maclaurin, temos que:

g x = ∑ n = 0 ∞ g n ( 0 ) n ! x n

Onde g ( n ) = e x , assim:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 5

Agora vamos calcular o raio de convergência dessa série. Temos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x n + 1 n + 1 ! ⋅ n ! x n

= lim n → ∞ ⁡ x n + 1

x lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1

Temos que para n → ∞ o limite vai a zero, logo temos que:

0 < 1

Isso quer dizer que a série converge para qualquer valor de x então o raio de convergência é infinito.

Com isso finalizamos a questão com sucesso!

Resposta

i .

  1 2020 ∑ n = 0 ∞ - 1 n x - 1 n

R = 1

i i .

∑ n = 0 ∞ x n n !

R = ∞

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