Considere a série de potências

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 x - 1 n 2 n + 1

  1. Determine o raio e o intervalo de convergência da série acima.
  2. Para quais valores de x a série converge absolutamente? Para quais valores de x a série converge condicionalmente?

Passo 1

Vamos começar com a letra (a). Como temos um polinômio aparecendo na nossa série, vamos usar o teste da razão. Nele temos que se: lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Então, a série converge. Show. Vamos aplicar isto. Temos que: a n + 1 = 3 n + 1 2 x - 1 n + 1 2 n + 1 + 1 = 3 n + 1 2 x - 1 n + 1 2 n + 3

Assim, vamos ter que:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 2 x - 1 n + 1 2 n + 3 3 n 2 x - 1 n 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 1 2 x - 1 n + 1 2 n + 3 ⋅ 2 n + 1 3 n 2 x - 1 n

= lim n → ∞ ⁡ 3 2 x - 1 ⋅ 2 n + 1 2 n + 3 = 3 2 x - 1 l i m n → ∞   2 n + 1 2 n + 3 < 1

Vamos analisar aqui justamente

l i m n → ∞   2 n + 1 2 n + 3

Dividindo tudo pelo termo de maior grau n :

l i m n → ∞   2 n + 1 2 n + 3 = l i m n → ∞ 2 + 1 n 2 + 3 n = 2 2 = 1

Logo, vamos ter: 3 2 x - 1 1 < 1

2 x - 1 < 1 3

Essa não é a resposta final, precisamos deixar o que está dentro do módulo na forma x - a . Temos:

2 x - 1 = 2 x - 1 2 = 2 x - 1 2

Logo, temos:

2 x - 1 < 1 3

2 x - 1 2 < 1 3

x - 1 2 < 1 6

Ou seja, o raio de convergência é R = 1 / 6 . Determinado o raio, vamos encontrar o intervalo de convergência. Pelo módulo, temos que: - 1 6 < x - 1 2 < 1 6

Portanto: - 1 6 + 1 2 < x < 1 6 + 1 2

- 1 + 3 6 < x < 1 + 3 6

1 3 < x < 2 3

Por fim, precisamos testar a convergência nas extremidades. Quando x = 1 / 3 :

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 x - 1 n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 2 / 3 - 1 n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1

Agora temos o termo geral:

- 1 n 2 n + 1

Podemos comparar com a série harmônica alternada com termo geral: - 1 n n

Usando o teste da comparação no limite: lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 n + 1 - 1 n n = l i m n → ∞ n 2 n + 1 = 1 2

Portanto, como a série harmônica alternada converge, segue que

∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1

também irá convergir.

Agora, vamos verificar se converge para x = 2 / 3 :

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 x - 1 n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 4 / 3 - 1 n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1

Assim como antes, podemos usar o teste da comparação no limite. Mas aqui, vamos utilizar a série harmônica em detrimento da série harmônica alternada:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 1 n = l i m n → ∞ n 2 n + 1 = 1 2

Como a série harmônica diverge, então

∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1

irá divergir também! Show, assim nosso intervalo de convergência será composto pelo intervalo aberto 1 / 3,2 / 3 unido com o ponto x = 1 / 3 em que verificamos convergência: I = 1 3 , 2 3

Passo 2

Vamos para a letra (b) agora. Pelo teste da razão feito na letra (a), garantimos que a série é absolutamente convergente para:

1 3 < x < 2 3

Vamos agora testar convergência absoluta nas extremidades. Para x = 1 / 3 , temos:

∑ n = 1 ∞ 3 n 2 x - 1 n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 2 / 3 - 1 n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1

Portanto a série absoluta associada será: = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1  

E já vimos também na letra (a) que ela diverge nesse ponto. Por fim, para x = 2 / 3 também teremos: ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1

Logo, também irá divergir. Portanto, a série vai ser absolutamente convergente para o intervalor aberto:

I 2 = 1 3 , 2 3

Quanto a convergência condicional, temos a própria convergência da série da letra anterior. Assim, converge condicionalmente para:

I = 1 3 , 2 3

Resposta

  1. R = 1 6 ,   I = 1 3 , 2 3
  2. I 2 = 1 3 , 2 3   a b s o l u t a ,   I = 1 3 , 2 3   ( c o n d i c i o n a l )

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n