Considere a série de potências

f x = ∑ n = 1 + ∞ x + 1 n - 1 2 n n 3

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série.

Passo 1

Como temos potência na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esse caso.Temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Onde

a n = x + 1 n - 1 2 n n 3

a n + 1 = x + 1 n 2 n + 1 ( n + 1 ) 3

Passo 2

Isso nos dá

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ x + 1 n 2 n + 1 n + 1 3 × 2 n n 3 x + 1 n - 1 =

= lim n → ∞ ⁡ x + 1 n 3 2 n + 1 3 =

= lim n → ∞ ⁡ x + 1 n 3 2 n + 1 3 =

= lim n → ∞ ⁡ x + 1 2 1 + 1 n 3 = x + 1 2

Temos

x + 1 2 < 1

A série vai convergir, assim

x + 1 < 2

Portanto, o raio de convergência é R = 2 .

Passo 3

Sabemos que o intervalo de convergência é dado por:

a - R ,   a + R

Como a = - 1 e R = 2 :

- 1 - 2 ,   - 1 + 2 = - 3,1

Agora temos que descobrir a convergência nos extremos

Passo 4

Para x = - 3

∑ n = 1 + ∞ - 3 + 1 n - 1 2 n n 3 = ∑ n = 1 + ∞ - 2 n - 1 2 n n 3 = ∑ n = 1 + ∞ 2 n - 1 - 1 n - 1 2 n n 3 = 1 2 ∑ n = 1 + ∞ - 1 n - 1 n 3

Essa é uma série alternada, inicialmente precisaríamos fazer o teste da série alternada. Repara que essa série é

1 2 ∑ n = 1 + ∞ - 1 n - 1 n 3 / 2

A sua série em módulo é uma p série com p = 3 / 2 > 1 , ou seja, é convergente, assim a série do módulo converge, isso nos diz que ela é absolutamente convergente, que significa que essa série converge para x = - 3

Passo 5

Para x = 1

∑ n = 1 + ∞ 1 + 1 n - 1 2 n n 3 = ∑ n = 1 + ∞ 2 n - 1 2 n n 3 = ∑ n = 1 + ∞ 2 n - 1 2 n n 3 = 1 2 ∑ n = 1 + ∞ 1 n 3

Repara que

1 2 ∑ n = 1 + ∞ 1 n 3 = 1 2 ∑ n = 1 + ∞ 1 n 3 / 2

Essa é uma p série com p > 1 , assim a série converge.

Temos, então:

I = [ - 3 ,   1 ]

Resposta

R = 2

I = [ - 3 ,   1 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
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Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n