Determinar o raio de convergência da série de potências

∑ n = 0 + ∞ n ! x n 2

Passo 1

Como temos fatorial na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esse caso. Já que temos x n 2 , não x n , vamos usar o teste na forma tradicional.

Temos o seguinte:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Onde

a n = n ! x n 2

a n + 1 = n + 1 ! x n + 1 2

Passo 2

Isso nos dá

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n + 1 ! x n + 1 2 n ! x n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 x n 2 + 2 n + 1 - n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 =

Vamos analisar esse limite agora,

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = ∞ ∙ x ∞

Dependendo do valor de x temos uma indeterminação ∞ ∙ 0 ou o limite vai ser ∞ ∙ ∞ que é .

Isso tudo depende do valor de x , se ele for menor que 1 então x ∞ vai para 0 e temos a indeterminação, se ele for maior que 1 então x ∞ vai ser . Assim já garantimos que

x ≥ 1

A série diverge, temos que analisar a outra situação

Passo 3

Vamos ver agora o limite quando x < 1

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x 2 n + 1 = ∞ ∙ 0

Vamos fazer

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1

Para isso vamos considerar também x ≠ 0 , para evitar problemas de conta, mas repara que se x = 0 então temos o somatório de 0 que converge.

Voltando para o limite

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1 = ∞ ∞

Agora podemos aplica L’Hopital

lim n → ∞ ⁡ n + 1 x - 2 n - 1 = lim n → ∞ ⁡ 1 - 2 ln ⁡ x ∙ x - 2 n - 1 = 1 ∞ = 0 < 1

Assim pelo teste da razão se x < 1 a série converge.

Passo 4

Achamos um intervalo de x que a série converge

x < 1

Como ele quer o raio de convergência, vamos ter que esse raio vai ser 1

R = 1

Resposta

R = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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