Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

UFRJ – Cálculo 4 – P1 2013.1 – 1c

Determinar o raio de convergência da série de potências

n = 0 + n ! x n 2

Passo 1

Como temos fatorial na expressão do termo da nossa série, vamos aplicar o Teste da razão, que é bom para esse caso. Já que temos x n 2 , não x n , vamos usar o teste na forma tradicional.

Temos o seguinte:

lim n a n + 1 a n = L

Onde

a n = n ! x n 2

a n + 1 = n + 1 ! x n + 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Isso nos dá

lim n a n + 1 a n = lim n n + 1 ! x n + 1 2 n ! x n 2 =

= lim n n + 1 x n 2 + 2 n + 1 - n 2 =

= lim n n + 1 x 2 n + 1 =

Vamos analisar esse limite agora,

lim n n + 1 x 2 n + 1 = lim n n + 1 x 2 n + 1 = x

Dependendo do valor de x temos uma indeterminação 0 ou o limite vai ser que é .

Isso tudo depende do valor de x , se ele for menor que 1 então x vai para 0 e temos a indeterminação, se ele for maior que 1 então x vai ser . Assim já garantimos que

x 1

A série diverge, temos que analisar a outra situação

Passo 3

Vamos ver agora o limite quando x < 1

lim n n + 1 x 2 n + 1 = 0

Vamos fazer

lim n n + 1 x - 2 n - 1

Para isso vamos considerar também x 0 , para evitar problemas de conta, mas repara que se x = 0 então temos o somatório de 0 que converge.

Voltando para o limite

lim n n + 1 x - 2 n - 1 =

Agora podemos aplica L’Hopital

lim n n + 1 x - 2 n - 1 = lim n 1 - 2 ln x x - 2 n - 1 = 1 = 0 < 1

Assim pelo teste da razão se x < 1 a série converge.

Passo 4

Achamos um intervalo de x que a série converge

x < 1

Como ele quer o raio de convergência, vamos ter que esse raio vai ser 1

R = 1

Resposta

R = 1

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