Determine o intervalo de convergência da função

f x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 5 - 2 x n n n + 1 3 .

Passo 1

Bem, temos aqui uma série e ele pediu o intervalo de convergência. Para determiná-lo, podemos usar o teste da razão em que se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

A série irá convergir. Vamos determinar esses termos. Pelo somatório, temos que: a n = - 1 n 5 - 2 x n n n + 1 3

a n + 1 = - 1 n + 1 5 - 2 x n + 1 n + 1 n + 1 + 1 3 = - 1 n + 1 5 - 2 x n + 1 n + 1 n + 2 3

Passo 2

Agora, vamos substituir e calcular o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 5 - 2 x n + 1 n + 1 n + 2 3 - 1 n 5 - 2 x n n n + 1 3 = lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 5 - 2 x n + 1 n + 1 n + 2 3 ⋅ n n + 1 3 - 1 n 5 - 2 x n

Dá para simplificar uma parte, olha só:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 n + 1 n + 2 3 ⋅ - 1 n + 1 5 - 2 x n + 1 - 1 n 5 - 2 x n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 n + 1 n + 2 3 ⋅ 5 - 2 x

Então, usamos a propriedade do limite para separar em dois.

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 n + 1 n + 2 3 ⋅ lim n → ∞ ⁡ 5 - 2 x < 1

Como x não depende de n , o limite da direita vai sumir:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 n + 1 n + 2 3 ⋅ 5 - 2 x < 1

Vamos olhar para esse limite à esquerda. Podemos simplificar ainda mais isso aí:

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 n + 1 n + 2 3 = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ⋅ n + 1 n + 2 3 = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 ⋅ lim n → ∞ ⁡ n + 1 n + 2 3

= l i m n → ∞ n n + 1 ⋅ l i m n → ∞ n + 1 n + 2 3

Dividimos tudo pelo maior grau em cada limite n :

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 n + 1 n + 2 3 = l i m n → ∞ 1 1 + 1 / n ⋅ l i m n → ∞ 1 + 1 / n 1 + 2 / n 3

= 1 ⋅ 1 = 1

Todo esse trabalho para dar 1 ? Isso mesmo, segue o jogo hahaha.

Voltando lá para o teste da razão, chegamos na relação:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 n + 1 n + 2 3 ⋅ 5 - 2 x < 1

5 - 2 x < 1

Passo 3

Legal, agora temos a relação que queríamos e podemos encontrar o raio de convergência.

5 - 2 x < 1

De forma geral, temos que:

x - a < 1 R

Então, vamos deixar nessa forma. Colocando em 4 em evidência, temos: 2 5 2 - x < 1

2 x - 5 2 < 1

Como é módulo, dá para mudar o sinal do que está dentro sem peso na consciência. Assim, nosso raio de convergência vai ser ½ :

x - 5 2 < 1 / 2

Passo 4

Vamos agora para o intervalo de convergência. Pelo módulo, temos que:

- 1 2 < x - 5 2 < 1 2

Assim, teremos: - 1 2 + 5 2 < x < 1 2 + 5 2

2 < x < 3

Para as fronteiras, vamos ter que testar. Quando x = 2 :

f 2 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 5 - 2 ⋅ 2 n n n + 1 3 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n n + 1 3

Temos aqui uma série alternada. Então pode ser uma boa usar o teste da série alternada. Show, temos aqui, pela boa ordem:

1 n n + 1 3 > 1 n + 1 n + 2 3

Então o termo a n > a n + 1 . Além disso, tirando o limite: l i m n → ∞ 1 n n + 1 3 = l i m n → ∞ 1 n ⋅ l i m n → ∞ 1 n + 1 3 = 0 ⋅ 0 = 0

Assim, pelo teste da série alterada, essa série vai convergir e x = 2 faz parte do intervalo de convergência. Agora, para x = 3 :

f 3 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 5 - 2 ⋅ 3 n n n + 1 3 = ∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1 3

Podemos comparar essa série com a p -série p = 5 / 6 que diverge p < 1 :

∑ n = 1 ∞ 1 n 5 / 6

Usando o teste de comparação no limite, vamos ter: l i m n → ∞ 1 n n + 1 3 1 n 5 / 6 = l i m n → ∞ n 5 / 6 n 1 / 2 ⋅ n + 1 1 / 3 = l i m n → ∞ n 5 6 - 3 6 n + 1 1 / 3

= l i m n → ∞ n 1 3 n + 1 1 / 3 = l i m n → ∞   n n + 1 3 = l i m n → ∞ n n + 1 3

= l i m n → ∞ 1 1 + 1 / n 3 = 1

Como o limite deu um número real e a série com qual comparamos diverge, segue que

∑ n = 1 ∞ 1 n n + 1 3

E, portanto, x = 3 não faz parte do nosso intervalo de convergência.

Passo 5

Beleza, vamos montar esse resultado aí. Vimos que

2 < x < 3

Sendo que em x = 2 , converge e em x = 3 diverge. Então nosso intervalo de convergência será:

x ∈ 2,3

Resposta

x ∈ 2,3

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n