Determine o intervalo de convergência da série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 2 n n ⋅ 4 n

Passo 1

Pelo teste da razão, temos que

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L

Já o raio de convergência é dada por,

ρ = 1 L

Então podemos calcular o raio de convergência ρ da série aplicando:

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n a n + 1

E nesse caso, a n = - 1 n n ⋅ 4 n . Como o cálculo envolve um módulo, podemos desconsiderar o - 1 n , já que seu módulo será sempre 1 . Vamos ficar com:

lim n → ∞ ⁡ 1 n ⋅ 4 n 1 n + 1 4 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 1 n = 4

Logo, ρ = 4 .

Passo 2

Analisando o termo x - 2 n , verificamos que o centro da expansão da série é x 0 = 2 . E então os extremos do intervalo de convergência serão dados por: x 0 - ρ e x 0 + ρ . Ou seja, os extremos serão - 2 e 6 .

Passo 3

Só que ainda falta verificar se os extremos pertencem ao intervalo de convergência ou se apenas delimitam esse intervalo. Pra isso, vamos decidir sobre a convergência da série com os valores dos extremos no lugar de x . Veja só:

Pra x = - 2 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 4 n n . 4 n = ∑ n = 1 ∞ 1 n

Essa é a série harmônica, ou uma p-série com p = - 1 e sabemos que isso não vai convergir.

Passo 4

Pra x = 6 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n 4 n n . 4 n = - 1 n n

Vamos ver essa pelo teste das séries alternadas,

Primeiro repara que

b n = 1 n

É decrescente, quanto maior o n menor o b n

Além disso, temos que

lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0

Logo pelo teste das séries alternadas, converge!! Então, x = 6 pertence o intervalo.

Resposta

Intervalo de convergência = ( - 2,6 ]

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n