Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série

∑ n = 2 ∞ x 2 n 4 n n l n   n   2

Passo 1

Bem temos uma série ali em cima, como temos o x 2 n isso é uma série de potência.

Para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o teste da razão. Já que temos x 2 n e não x n vamos usar o teste na forma normal.

a n = x 2 n 4 n n l n   n   2

Então

l i m n → ∞   a n + 1 a n   = l i m n → ∞   x 2 ( n + 1 ) 4 n + 1 n + 1 l n   n + 1   2 ∙ 4 n n l n   n   2 x 2 n   =

l i m n → ∞   x 2 n l n   n   2 4 n + 1 l n   n + 1   2   = l i m n → ∞   x 2 4 n l n   n   2 n + 1 l n   n + 1   2  

Podemos separar esse limite em duas partes

l i m n → ∞   n n + 1  

E

l i m n → ∞   l n   n   2 l n   n + 1   2  

Passo 2

Vamos resolver o nosso primeiro limite que separei

l i m n → ∞   n n + 1  

Aqui temos um polinômio sobre outro, então vamos colocar o maior grau em evidência

l i m n → ∞ n n + 1   = l i m n → ∞   n n 1 + 1 n   = l i m n → ∞   1 1 + 1 n   = 1 1 + 0 = 1 = 1

Passo 3

Agora falta o outro limite dessa parada

l i m n → ∞   l n   n   2 l n   n + 1   2  

Podemos dar uma arrumada

l i m n → ∞   l n   n   2 l n   n + 1   2   = l i m n → ∞   l n   n   l n   n + 1   2   = l i m n → ∞   l n   n   l n   n + 1     2

Então queremos na verdade o limite

l i m n → ∞   l n   n   l n   n + 1    

Como o logaritmo vai para um cara positivo com n → ∞ podemos tirar o módulo

l i m n → ∞   l n   n   l n   n + 1     = l i m n → ∞   l n   n   l n   n + 1     = ∞ ∞

Temos uma indeterminação ∞ / ∞ , então vamos aplicar a regra de L’Hospital

l i m n → ∞   l n   n   l n   n + 1     = l i m n → ∞   1 n 1 n + 1   = l i m n → ∞   n + 1 n   = l i m n → ∞   1 + 1 n   = 1 + 0 = 1

Então

l i m n → ∞   l n   n   2 l n   n + 1   2   = 1 2 = 1

Passo 4

Voltando para o limite que achamos antes

l i m n → ∞   a n + 1 a n   = l i m n → ∞   x 2 4 n l n   n   2 n + 1 l n   n + 1   2   = l i m n → ∞   x 2 4 . 1.1 = x 2 4

Essa série vai convergir devemos ter esse limite sendo menor que 1 , então

x 2 4 < 1

Isso nos diz que

x 2 < 4

- 2 < x < 2

E achamos o intervalo de convergência e o raio de convergência.

O raio de convergência vai ser

2 R = 4 → R = 2

Passo 5

Para fechar o intervalo de convergência temos que testar os extremos

Vamos começar com

x = - 2

∑ n = 2 ∞ - 2 2 n 4 n n l n   n   2 = ∑ n = 2 ∞ 4 n 4 n n l n   n   2 = ∑ n = 2 ∞ 1 n l n   n   2

Repara que temos um logaritmo nessa parada, e além disso temos 1 / n que é a derivada de l n   n   , isso nos dá uma dica de que temos que o usar o teste da integral.

Primeiro vamos fazer

f x = 1 x l n   x   2

Assim f n = a n

Vamos ao teste da integral, como essa série começa no 2 vamos fazer a integral começando no 2 também

∫ 2 ∞ 1 x l n   x   2 d x

Para resolvermos essa integral devemos fazer

∫ 2 ∞ 1 x l n   x   2 d x = ∫ 2 a 1 x l n   x   2 d x  

Passo 6

Vamos fazer a integral

∫ 1 x l n   x   2 d x

Vamos usar substituição simples

l n   x   = u

1 x d x = d u

Então a nossa integral vai ficar

∫ 1 x l n   x   2 d x = ∫ 1 u 2 d u = ∫ u - 2 d u

Vamos ter

∫ u - 2 d u = u - 1 - 1 = - u - 1 = - 1 u

Voltando para x

- 1 u = - 1 l n   x  

Passo 7

Vamos voltar para a integral definida que tínhamos

∫ 2 a 1 x l n   x   2 d x   = - 1 l n   x   2 a   = - 1 l n   a   - - 1 l n   2     =

- 1 l n   a   + 1 l n   2     = - 1 ∞ + 1 l n   2   = 0 + 1 l n   2   = 1 l n   2  

Como essa integral converge a nossa série com x = - 2 também converge.

Passo 8

Vamos ver agora como fica com x = 2

∑ n = 2 ∞ 2 2 n 4 n n l n   n   2 = ∑ n = 2 ∞ 4 n 4 n n l n   n   2 = ∑ n = 2 ∞ 1 n l n   n   2

Essa é a mesma série de antes, então ela também converge e o intervalo de convergência vai ser

- 2,2

Resposta

R = 2

I = - 2,2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n