Determine o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências

∑ n = 1 ∞ x n 10 n n 5 .

Passo 1

Beleza, então vamos lá. Como temos um n 5 aparecendo ali, parece mais interessante usar o teste razão

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 10 n + 1 n + 1 5 x n 10 n n 5 < 1 .

Ai precisamos simplificar essa situação ai. Temos que

x n + 1 10 n + 1 n + 1 5 x n 10 n n 5 = x n + 1 10 n + 1 n + 1 5 ⋅ 10 n n 5 x n

= x n + 1 x n ⋅ 10 n 10 n + 1 ⋅ n 5 n + 1 5

= x ⋅ 1 10 ⋅ n n + 1 5

Assim, vamos ter

lim n → ∞ ⁡ x n + 1 10 n + 1 n + 1 5 x n 10 n n 5 < 1

lim n → ∞ ⁡ x ⋅ 1 10 ⋅ n n + 1 5 < 1

x 10 ⋅ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 5 < 1 .

Passo 2

Vamos calcular esse limite aí. Podemos jogar o limite para dentro, ficando

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 5 = l i m n → ∞ n n + 1 5 .

Aí dividimos numerador e denominador pela maior potência n ,

l i m n → ∞ n n + 1 5 = l i m n → ∞ 1 1 + 1 n 5 = 1 .

Assim, o problema vai ficar

x 10 ⋅ lim n → ∞ ⁡ n n + 1 5 < 1 .

x 10 < 1 .

x < 10

Assim, o raio de convergência vai ser R = 10 .

Passo 3

Beleza, agora como não podemos concluir nada quando o limite é 1 pelo teste da razão, para determinar as fronteiras do intervalo de convergência, precisamos testar cada caso.

Quando x = 10 , vamos ter

∑ n = 1 ∞ x n 10 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ 10 n 10 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 5 .

Essa aí é uma p-serie com p = 5 > 1 , então a série converge absolutamente para x = 10 e, portanto, esse ponto faz parte do intervalo de convergência.

Passo 4

Vamos ver agora para x = - 10 , neste caso

∑ n = 1 ∞ x n 10 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ - 10 n 10 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 5 .

Que, absolutamente será

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n n 5 = ∑ n = 1 ∞ 1 n 5

Que exatamente a p -série do passo anterior. Portanto, também vai convergir absolutamente para x = - 10 e este ponto fará parte do intervalo de convergência.

Passo 5

Legal, então sabemos que converge para x < 10 e conhecemos a convergência nos extremos, assim, montamos o intervalo de convergência

I = - 10 ,   10 .

Que é um intervalo fechado justamente porque vimos que a série converge nos extremos. 😊

Resposta

x < 10

I = - 10 ,   10

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n