1. Determine o raio de convergência da série de potências ∑ n = 1 ∞ 2 n ! n ! 2 x n .

Passo 1

Como temos um monte de fatoriais, vamos usar o teste da razão!

Para isso precisamos saber quem é: a n + 1 e a n .

a n + 1 = ( 2 n + 1 ) ! n + 1 ! 2 x ( n + 1 ) e a n =   2 n ! n ! 2 x n , do enunciado.

Calculando: a n + 1 a n = ( 2 n + 1 ) ! ( n ! ) 2 2 n !   n + 1 ! 2   x ( n + 1 ) x n =   ( 2 n + 2 ) ( 2 n + 1 ) ( n + 1 ) 2 x

Passo 2

Calculando o limite por L’ Hospital:

lim n → ∞ ⁡ ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 2 ) ( n + 1 ) 2 x = 4 n 2 + 4 n + 2 n + 2 n ² + 2 n + 1 x = 4 x

Pra nossa série convergir então, vamos ter:

0 ≤ 4 x < 1

Ou seja, se - 1 < x < 0 :

0 ≤ - 4 x < 1

- 1 4 < x ≤ 0

Se 0 ≤ x < 1 :

0 ≤ 4 x < 1

0 ≤ x < 1 4

Então a série converge quando:

- 1 4 < x < 1 4

E o raio de convergência da série é 1 4 .

Resposta

O raio de convergência da série é 1 4 .

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n