Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

USP - Cálculo 4 - P1 2014 - 3b

Determine para quais valores de x R a série converge:

n = 1 n ! n n x - 1 2 n  

Passo 1

Normalmente para fazermos o intervalo de convergência temos que ter

n = 1 a n x - a n

Mas temos um 2 n n o expoente ali, então temos que usar o teste da razão completo.

Vamos ter

lim n a n + 1 a n = lim n n + 1 ! n + 1 n + 1 x - 1 2 n + 2 . n n n ! x - 1 - 2 n =

lim n n + 1 ! n ! . n n n + 1 n + 1 x - 1 2 = lim n n + 1 n ! n ! . n n n + 1 n n + 1 x - 1 2 =

lim n n n n + 1 n x - 1 2 = x - 1 2 lim n n n n + 1 n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que achar o limite que sobrou ali

lim n n n n + 1 n

Podemos falar que aquilo dentro do limite é

n n + 1 n = n n + 1 - 1 - n = n + 1 n - n = 1 + 1 n - n = 1 1 + 1 n n

Então

lim n n n n + 1 n = 1 lim n 1 + 1 n n

E a gente já sabe que o limite de 1 + 1 n n para n é a exponencial! Então:

lim n n n n + 1 n = 1 lim n 1 + 1 n n = 1 e

Passo 3

Assim temos que, pelo teste da razão

x - 1 2 e < 1

A série converge, ou seja,

x - 1 2 < e

- e < x - 1 < e

- e + 1 < x < e + 1

Temos o nosso intervalo de convergência, temos que ver nos extremos

Passo 4

Começando com

x = e + 1

Vamos ter

n = 1 n ! n n e + 1 - 1 2 n = n = 1 n ! n n e 2 n = n = 1 n ! e n n n

Repara que

n = 1 n ! e n n n = 1 ! e 1 1 1 = e

Então se essa série for crescente ela diverge, se ela for decrescente ela diverge.

Vamos analisar

a n = n ! e n n n

Para ver se é crescente ou decrescente vamos analisar

a n + 1 a n

Vai ser

n + 1 ! e n + 1 n + 1 n + 1 n n n ! e n = n + 1 . n ! e n + 1 n + 1 n n + 1 n n n ! e n = e n n n + 1 n

Se jogarmos aquele n n para baixo em baixo vamos ter uma parada que lembra o teorema exponencial

e 1 + 1 n n

O denominador vai para e quando n mas ele é crescente e começa no 1 , então temos

e 1 + 1 n n > 1

Assim

a n + 1 a n > 1

E a nossa série vai ser crescente, logo diverge.

Passo 5

Agora vamos fazer

x = - e + 1

Vamos ter

n = 1 n ! n n - e + 1 - 1 2 n = n = 1 n ! n n - e 2 n = n = 1 n ! e n n n

Que é a mesma série de antes, então também diverge.

E o intervalo de convergência vai ser

- e + 1 , e + 1

Resposta

- e + 1 , e + 1

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