Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

Elaboração própria.

Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n

Passo 1

Antes de tudo, precisamos reescrever essa série na forma geral que vimos:

n = 0 c n ( x - a ) n

Na série do problema, temos “ 2 x ”, não “ x ”. Vamos mudar isso:

n = 2 - 1 n 2 x + 3 n n ln n = n = 2 - 1 n 2 x + 3 / 2 n n ln n =

= n = 2 - 1 n 2 n   n ln n x + 3 / 2 n

Agora sim, temos uma série de potências centrada em a = - 3 / 2 .

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Passo 2

Agora sim: para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão na forma simplificada para séries de potências. Temos:

c n = - 1 n 2 n   n ln n

Então

lim n c n + 1 c n = lim n - 1 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) ln ( n + 1 ) × n ln n - 1 n 2 n =

= lim n 2 n ln n ( n + 1 ) ln ( n + 1 ) =

Aqui vamos fazer um pequeno algebrismo:

= lim n 2 n ( n + 1 ) × lim n ln n ln ( n + 1 ) =

= lim n 2 n n ( 1 + 1 / n ) × lim n ln n ln ( n + 1 ) =

Como lim n 2 ( 1 + 1 / n ) = 2 , temos:

= 2 lim n ln n ln ( n + 1 ) =

Para calcular esse limite, aplicamos, então, a Regra de L’Hospital (tanto o numerador como o denominador tendem a infinito). Derivando em cima e embaixo, temos:

= 2 lim n 1 / n 1 / ( n + 1 ) =

= 2 lim n n + 1 n =

= 2 lim n 1 + 1 n = 2

Como R = 1 / L , temos R = 1 / 2 .

Passo 3

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como a série é centrada em a = - 3 / 2 , sabemos que esse intervalo é:

a - R ,   a + R = - 3 2 - 1 2 , -   3 2 + 1 2   = - 2 ,   - 1

Pelo menos nesse intervalo a série converge, agora precisamos descobrir se as extremidades x = - 2 e x = - 1 estão inclusas ou não.

Passo 4

Para x = - 2 , a série se torna:

n = 2 - 1 n - 4 + 3 n n ln n = n = 2 - 1 n - 1 n n ln n = n = 2 1 n ln n  

Não temos como aplicar o Teste da comparação, pois essa série possui termos maiores dos que os de uma série que converge 1 / n 2 . Pelo formato da série, Comparação no limite também não serve. O Teste da razão também não serve, pois sem nenhuma potência ou fatorial, ele será inconclusivo (encontraremos 1 ).

Vamos tentar, então, o Teste da integral, já que parece que não temos muitas opções. Temos:

a n = 1 n ln n

Se

f x = 1 x ln x

Temos f n = a n . Agora, vamos calcular a integral com intervalo finito

2 b d x x ln x

Estamos usando x = 2 como limite inferior por que a função não está definida em x = 1 . Definindo

ln x = u           1 x = d u

Temos

d u u = ln u

2 b d x x ln x = ln ( ln x ) 2 b = ln ( ln b ) - ln ln 2

Agora vamos tomar o limite dessa expressão que encontramos.

2 d x x ln x = lim b 2 b d x x ln x = lim b ln ln b - ln ln 2 =

Como a integral diverge, pelo Teste da integral, a série também diverge.

Portanto, x = - 2 não pertence ao intervalo de convergência.

Passo 5

Para x = - 1 , a série se torna:

n = 2 - 1 n - 2 + 3 n n ln n = n = 2 - 1 n n ln n

Pelo Teste das séries alternadas, essa série converge, pois 1 / ( n ln n ) é decrescente e tende a zero quando n tende a infinito.

Portanto, x = - 1 pertence ao intervalo de convergência.

Temos, então, ( - 2 ,   - 1 ] .

Resposta

Raio de convergência R = 1 / 2 , intervalo: ( - 2 ,   - 1 ] .

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