Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.

∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 1

Para descobrir o raio de convergência, vamos aplicar o Teste da razão. Para isso temos que calcular,

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = L

Se L < 1 , temos que a série converge.

Aplicando então na forma simplificada para séries de potências. Temos:

c n = 1 n !

Então

lim n → ∞ ⁡ c n + 1 c n = lim n → ∞ ⁡ 1 ( n + 1 ) ! × n ! =

lim n → ∞ ⁡ 1 n + 1 = 0 = L

O raio de convergência R vai nos dizer até que valor a série converge. Como pelo teste da razão temos que a série converge para L < 1 . Temos que R = 1 / L . Como nosso L é zero, tomando a convenção 1 / 0 = ∞ , temos R = ∞ .

Passo 2

Vamos agora calcular o intervalo de convergência. Como o raio é infinito, não precisamos de contas para saber que esse intervalo é ( - ∞ ,   ∞ ) .

Resposta

Raio de convergência R = ∞ , intervalo: ( - ∞ ,   ∞ ) .

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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