Encontre a região de convergência da série de potências:

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 n x - 2 2 n

Passo 1

a)

Esse item pede para que encontremos a região de convergência dessa série de potencias e, para isso, precisaremos de usar o a n e o a n + 1 .

a n = - 1 n n 3 n x - 2 2 n

a n + 1 = - 1 n + 1 ( n + 1 ) 3 n + 1 x - 2 2 n + 2

Como não temos uma série de potencias bonitinha no formato que vimos na teoria teremos que aplicar o Teste da Razão na forma tradicional (diferente daquele pulo do gato que fazemos normalmente).

Passo 2

Vamos utilizar o teste da razão para encontrar o raio de convergência, lembrando que a série convergirá se:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

E divergirá caso esse mesmo limite seja maior do que 1. Calculando esse limite temos que

lim n → ∞ ⁡ - 1 n + 1 x - 2 2 n + 2 ( n + 1 ) 3 n + 1 n 3 n - 1 n x - 2 2 n = lim n → ∞ ⁡ - 1 n ( n + 1 ) 3 x - 2 2 =

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 x - 2 2

Como x - 2 2 será uma constante para cada valor de x .

lim n → ∞ ⁡ n n + 1 3 x - 2 2 = x - 2 2 3 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 < 1

Passo 3

Agora temos que fazer uma análise sobre o raio de convergência. Lembra que na teoria nós tínhamos que

L x - a < 1

Onde L era o resultado do limite independente de x e o inverso do raio de convergência. Nós temos uma coisa parecida no nosso problema, mas o termo | x - a | está ao quadrado. Vamos concordar então que nada mais justo que manipularmos o nosso limite para encontrarmos algo parecido com o que queremos.

x - 2 2 3 lim n → ∞ ⁡ n n + 1 = x - 2 2 3 < 1

x - 2 3   < 1

Logo fica bem claro que L = 1 3 e, consequentemente, R = 3 .

Passo 4

Como a série é centrada em x = 2 já sabemos que o intervalo de convergência será.

( 2 - 3 , 2 + 3 )

Temos que analisar as extremidades agora e isso nos dá a seguinte série nas duas extremidades.

∑ n = 1 ∞ - 1 n n 3 n 3 2 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n n

Lembrando os critérios de Leibniz, dada uma série alternada

∑ n = 1 ∞ - 1 n b n

Se ela satisfizer essas duas condições:

b n + 1 ≤ b n   p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ b n = 0                                            

Na nossa série teremos.

1 n + 1 ≤ 1 n   p a r a   t o d o   n lim n → ∞ ⁡ 1 n = 0                                            

Logo a série converge absolutamente nas extremidades também e o intervalo será.

[ 2 - 3 , 2 + 3 ]

Resposta

  [ 2 - 3 , 2 + 3 ]

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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