Encontre uma representação em série de potências para a função e determine o raio de convergência.

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f x = x 3 x - 2 2

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão quer que encontremos uma representação em série para a seguinte função:

f x = x 3 x - 2 2

Para isso, devemos analisar uma função parecida que pode ser dada também em uma série convertida. No caso temos:

1 1 - x = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + … = ∑ n = 0 ∞ x n

Sabendo dessa função a gente pode manipular a nossa função para descobrirmos a nossa série (de forma que a nossa série tenha uma integral equivalente)!!

Em seguida, devemos determinar o intervalo de convergência dessa série que descobriremos.

Para isso, devemos analisar a razão da série geométrica resultante na expressão geral da nossa série e fazer seu módulo ser menor que 1 (para a série convergir).

Não entendeu? Então bora junto aqui!!

😉

Passo 2

Então... Reescrevendo a nossa função, podemos reescrever utilizando o seguinte produto:

f x = x 3 x - 2 2 = x 3 * 1 x - 2 2

Onde

1 x - 2 2 = 1 2 - x ' = 1 2 1 - x 2 '

Passo 3

Veja que a expressão dentro da derivada pode ser entendida como a soma de uma série geométrica de primeiro termo 1 2 e razão x 2 , ou seja:

1 x - 2 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 2 x 2 n ' ∴

1 x - 2 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 2 n + 1 x n ' ∴

1 x - 2 2 = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 n x n - 1

Multiplicando os dois lados da igualdade por x 3 , temos:

f x = x 3 x - 2 2 = x 3 ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + 1 n x n - 1 ∴

f x = ∑ n = 1 ∞ n 2 n + 1 x n + 2

Passo 4

Agora, para determinar o raio de convergência, sabendo da nossa razão geométrica, temos:

x 2 < 1 ∴

x < 2

Ou seja, o raio de convergência é R = 2 .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

f x = ∑ n = 1 ∞ n 2 n + 1 x n + 2

R = 2

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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