Exercícios Resolvidos de Raio e Intervalo de Convergência

PUC-RJ - Cálculo 3 - P3 2013.2 - 3

Estude a convergência da série de potências:

n = 1 - 1 n x + 2 n 3 n n 2

Passo 1

Pra estudar a convergência dessa série vamos primeiro olhar para

c n = - 1 n 3 n n 2

E então, devemos aplicar a definição de raio de convergência:

lim n c n + 1 c n = L = 1 R

Resolvendo o limite,

lim n - 1 n + 1 3 n + 1 n + 1 2 3 n n 2 - 1 n = 1 3   n 2 n + 1 2 = 1 3 = L

E como L = 1 R , teremos que o raio de convergência é R = 3 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Sabemos que, analisando o termo x + 2 n , podemos dizer que o centro da expansão da série é x 0 = - 2 . E portanto o intervalo de convergência da série tem extremos x 0 - R e x 0 + R . Logo, o intervalo de convergência tem extremos - 5 e 1 .

Passo 3

Agora vamos verificar se os extremos pertencem ou não ao intervalo de convergência. Pra isso, vamos verificar se a série converge, fazendo x = - 5 e x = 1 . Veja só:

Pra x = - 5 :

n = 1 1 n 2

Que pelo teste da integral:

1 x 2 d x = - 1 x + C

Com x , a integral converge pra 1!

Verificamos que converge! Então, x = - 5 pertence ao intervalo!

Pra x = 1 :

n = 1 - 1 n n 2

Vamos usar o teste da série alternada aqui! Como

n 2 < n + 1 2 1 n 2 > 1 n + 1 2

Logo é decrescente. Além disso, temos que

lim n 1 n 2 = 0

Logo é convergente!

Resposta

R = 3

- 5,1

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas