Obtenha todos os valores reais de x para os quais a série abaixo é convergente:

∑ n = 1 ∞ 2 x n n ln ⁡ n + 1  

Passo 1

Bem, se x = 0 , a série vai convergir porque só vai ter 0 na série. Mas ok, agora considerando x ≠ 0 , vamos ver os outros valores possíveis. Esse cara parece cair bem no critério da razão, vamos testar?

a n + 1 a n = 2 | x | n + 1 n + 1 ln ⁡ n + 2 . n ln ⁡ n + 1 2 | x | n = 2 | x | . n n + 1   . ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 2

Vamos ver como isso fica:

lim n → ∞ ⁡ 2 | x | . n n + 1   . ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 2 = 2 | x | lim n → ∞ ⁡ n n + 1   . lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 2

Os 2 limites são resolvidos usando L’Hospital!

lim n → ∞ ⁡ n n + 1   = 1

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n + 1 ln ⁡ n + 2 = l i m n → ∞ 1 n + 1 1 n + 2 = l i m n → ∞ n + 2 n + 1 = 1

Logo:

l i m n → ∞ a n + 1 a n = 2 x < 1

Tem que ser menor que 1 para convergir! Assim:

x < 1 2 →   - 1 2 < x < 1 2

Para esses valores a série converge absolutamente!

Mas temos que analisar nos limites(Porque o critério da razão não fala nada quando a razão da 1 .

Passo 2

Para x = 1 2 a série fica:

∑ n = 1 ∞ 1 n ln ⁡ n + 1  

Bem, já sabemos que o critério da razão não vai resolver, mas essa função ta quase muito boa pra integrar, o problema é esse n + 1 , vamos usar o critério da comparação:

1 n ln ⁡ n + 1 ≤ 1 n ln ⁡ n

Vamos usar o critério da integral nessa série mais simples:

∫ 0 ∞ 1 ( n ln ⁡ n ) d n = lim b → ∞ ⁡ ∫ 0 b 1 ( n ln ⁡ n ) d n

Ok clã, uma substituição simples:

u = ln ⁡ n

d u = 1 n d n

E quando n → ∞   o   u → ∞

Assim fica:

lim u → ∞ ⁡ ∫ 0 u 1 u d u = l i m u → ∞ ln ⁡ | u | = ∞

Então essa série diverge, pelo critério da comparação não podemos dizer nada.

E se tentarmos o critério da comparação no limite com essa função, porque aí podemos aproveitar o critério da integral que usamos agora:

b n = 1 n ln ⁡ n

Então fica:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n + 1 1 n ln ⁡ n = lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ ( n ) ln ⁡ ( n + 1 )

Aplicando L’Hospital:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = n + 1 n

Novamento L’Hospital:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = 1

Então as funções tem o mesmo comportamento, como já vimos que b n é divergente, concluímos que a série é divergente para x = 1 2 , ufa!

Passo 3

Para x = - 1 2 :

∑ n = 1 ∞ - 1 n n ln ⁡ n + 1

Vamos aplicar o critério das séries alternadas:

b n = 1 n ln ⁡ n + 1 é descrecente

E

lim n → ∞ ⁡ 1 n ln ⁡ n + 1 = 0

Então a série converge pelo critério das séries alternadas. Assim, converge condicionalmente!

Resposta

- 1 2 ≤ x < 1 2

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n