Avalie a integral de superfície ∬ S F → ⋅ d S → para o campo vetorial dado F → e a superfície orientada S . Em outras palavras, localize o fluxo de F através de   S . Para superfícies fechadas, use a orientação (para o exterior) positiva.

F → x , y , z = x z i ^ + x j ^ + y k ^

S   é   o   h e m i s f é r i o   x 2 + y 2 + z 2 = 25 ,   y ≥ 0 ,   o r i e n t a d o   n a   d i r e ç ã o   d o   e i x o   p o s i t i v o   y   .

Passo 1

Vamos começar olhando a região de integração. No plano x z é um círculo de raio 5 , então:

d A = r d r d θ 0 ≤ r ≤ 5 0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

O vetor normal n → é na direção positiva do eixo y :

n → = 0,1 , 0

E o produto escalar entre esse vetor e o campo F → é:

x z ,   x ,   y ⋅ 0,1 , 0 = x

Em coordenadas polares x = r c o s θ ; y = r s e n θ o produto escalar fica assim ó:

r c o s θ  

E esse vai ser nosso integrando! Agora é só jogar tudo numa integral dupla e sair calculando! Bora lá?

Passo 3

∫ 0 2 π ∫ 0 5 r c o s θ r d r d θ = ∫ 0 2 π c o s θ d θ ∫ 0 5 ( r 2 ) d r

Como não as variáveis são independentes, podemos fazer as duas integrações simultaneamente:

s e n θ 0 2 π . r 3 3 0 5

E aplicar os limites:

= [ 0 - 0 ] . 5 3 3 - 0 3 = 0

Beleza? Vamos pra próxima!

Resposta

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