Calcule

  1. ∫ γ x 2 5 y d x + 7 x d y + e y d y ,   s e n d o   γ a elipse 16 x 2 + 25 y 2 = 100 , percorrida de 0 , - 2 )   a   ( 0,2 ) com x ≥ 0 .
  2. ∫ γ 2 x e y - x 2 y - y 3 3 d x + x 2 e y + sin ⁡ y d y , sendo γ a circunferência x 2 + y 2 - 2 x = 0 , percorrida de ( 0,0 ) a ( 2,0 ) com y ≥ 0 .
  3. ∫ γ v → d r , sendo γ a fronteira do retângulo 1,2 × [ - 1,1 ] e v → x , y = 2 atan ⁡ y x i → + ( ln ⁡ x 2 + y 2 + 2 x ) j → , percorrida no sentido anti-horário.

Passo 1

Para calcular a integral de linha ∫ γ v ⃗   ·   d r ao longo da fronteira γ do retângulo [ 1,2 ] × [ - 1,1 ] , onde v → x , y = 2 atan ⁡ y x i → + ( ln ⁡ x 2 + y 2 + 2 x ) j → , percorrida no sentido anti-horário, podemos usar o teorema de Green.

O teorema de Green estabelece que a integral de linha de um campo vetorial v → ao longo de uma curva fechada γ é igual à integral dupla do rotacional do campo v → sobre a região delimitada por γ .

Matematicamente:

∫ γ v → · d r   =   ∬ D   r o t ( v → )   d A

onde D é a região delimitada por γ e   r o t ( v → ) é o rotacional do campo v → .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de v → :

r o t ( v → )   =   ∂ v y ∂ x   - ∂ v x ∂ y   k →

onde v x é a componente x de v → e v y é a componente y de v → .

No nosso caso, temos:

v x   =   2   a t a n y x

v y = l n ( x ² + y ² )   +   2 x .

Calculando as derivadas parciais:

∂ v x ∂ y = 2 x x 2 + y 2

∂ v y ∂ x   = 2 x x 2 + y 2   +   2

Passo 3

Portanto, o rotacional de v → é:

r o t ( v → )   =   2 x x 2 + y 2   +   2   - 2 x x 2 + y 2   k →

                    =   2   k →

Agora podemos aplicar o teorema de Green:

∫ γ v → · d r   =   ∬ D   r o t ( v → )   d A

                    =   ∬ D   ( 2 )   d A .

A região D é o retângulo [ 1,2 ] × [ - 1,1 ] , então a integral dupla se torna:

∫ γ v → · d r =   2   *   ( 2   -   1 )   *   ( 1   -   ( - 1 ) )

                    =   2   *   1   *   2

                    =   4

Portanto, a integral de linha ∫ γ v → · d r é igual a 4.

Resposta

Portanto, a integral de linha ∫ γ v → · d r é igual a 4.

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