Calcule a massa das superfícies sendo δ ( x , y , z ) a densidade pontual de massa para:

d )   S   é a parte de z = x 2 + y 2 + 2 x y limitada por x 2 + y 2 = 2 e δ x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 z

Passo 1

Fala povo bonito, tudo na paz por aí?

Então, nessa questão precisamos calcular a massa de uma superfície S . Pra fazer isso, nos foi dada a função densidade de massa dessa superfície.

Massa! Pra descobrir a massa de S precisamos usar o recurso da integral de superfície! Basicamente, podemos afirmar que:

m S =   ∫ ∫ S δ x , y , z d σ

Perfeito! Então, o nosso problema se resume a resolver a integral de superfície acima. E, para resolver uma integral de superfície podemos seguir os seguintes passos:

Imagina que temos que calcular:

∫ ∫ S δ x , y , z d S

1 )   Parametrizar a superfície S

ϕ ( u , v )

2 )   Escrever a função δ ( x , y , z ) como função da parametrização

δ ϕ u , v

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

N → = ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ ∫ D δ ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

5 )   Resolver como uma integral dupla normal!

Excelente! Então, vamos aplicar tudo isso no nosso item 😊

Passo 2

Bom, nesse item nós vamos ter a função densidade de probabilidade dada por:

δ x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 z  

E, a nossa superfície S é parte de

z = x 2 + y 2 + 2 x y

Limitada pelo cilindro

x 2 + y 2 = 2

Beleza. Agora que sabemos isso vamos para a nossa receita de bolo 😊

1 )   Parametrizar a superfície S :

Podemos usar a própria parametrização explícita, daí temos:

z = x 2 + y 2 + 2 x y

Olhando direitinho, isso é o mesmo que escrever:

z = x + y 2

Logo, temos a parametrização:

ϕ x , y = ( x , y , x + y 2 )

Definir os intervalos de variação de x e y ainda é complicado, pois S é limitada por um cilindro, assim precisaríamos passar tudo pra coordenadas cilíndricas. Mas, isso nos levaria a uma integral muito feia por causa da função δ ( x , y , z ) . Então, por enquanto vamos parar por aqui na parametrização, beleza?

2 )   Escrever a função δ ( x , y , z ) como função da parametrização

Bom, agora podemos escrever a função densidade de massa usando a nossa parametrização.

δ x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 z  

Como z = x + y 2 , temos:

δ ϕ x , y =   2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 x + y 2

Ok!

3 )   Calcular o módulo do vetor normal à superfície, usando que:

Pra calcular o módulo da normal, como temos uma função definida explicitamente, podemos usar a seguinte fórmula bizurada galera:

N → = d z d x 2 + d z d y 2 + 1

Assim, temos:

d z d x = 2 x + y

E:

d z d y = 2 ( x + y )

Assim:

N → = 2 x + y 2 + 2 x + y 2 + 1

= 4 x + y 2 + 4 x + y 2 + 1

= 1 + 8 x + y 2

Excelente!

4 )   Montar a integral:

∫ ∫ S δ x , y , z d S = ∫ ∫ D δ ϕ u , v ∂ ϕ ∂ u × ∂ ϕ ∂ v d u d v

Bom, vamos ter:

∫ ∫ D 2 x 2 + 3 y 2 1 + 8 x + y 2 ⋅ 1 + 8 x + y 2 d x d y

Olha que bonito, os denominadores se cortaram. Daí, temos:

∫ ∫ D 2 x 2 + 3 y 2 d x d y

Beleza, nossa missão é resolver essa integral.

Passo 3

Queremos resolver a integral:

∫ ∫ D 2 x 2 + 3 y 2 d x d y

O problema é que ainda não sabemos os intervalos de variação de x e y . Na realidade, precisamos fazer uma mudança de variáveis para conseguir determinar esses intervalos, pois x e y variam dentro de um cilindro.

x = r c o s   θ y = r s e n   θ

Como fizemos uma mudança de variáveis na integral dupla, precisamos multiplica-la pelo Jacobiano.

J = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

= cos ⁡ θ - r s e n   θ s e n   θ r c o s   θ

= r c o s 2 θ + r s e n 2 θ

Logo:

J = r

Além disso, como D é justamente o cilindro que limita S , temos:

x 2 + y 2 ≤ 2

r 2 ≤ 2

Logo:

0 ≤ r ≤ 2

0 ≤ θ ≤ 2 π

Portanto, ficamos com a integral:

∫ ∫ D 2 x 2 + 3 y 2 d x d y

=   ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 ⋅ r 2 cos 2 ⁡ θ + 3 ⋅ r 2 s e n 2 θ ⋅   r ⋅ d r d θ

=   ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 2 + s e n 2 θ d r d θ

=   ∫ 0 2 π 2 + s e n 2 θ d θ ∫ 0 2 r 3 d r

Temos que:

∫ 0 2 r 3 d r = r 4 4 0 2

= 4 4 = 1

Já:

∫ 0 2 π 2 + s e n 2 θ d θ

Como:

s e n 2 θ = 1 - cos ⁡ 2 θ 2

Temos:

∫ 0 2 π 2 + s e n 2 θ d θ = ∫ 0 2 π 2 + 1 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

=   ∫ 0 2 π 5 - cos ⁡ 2 θ 2 d θ

= 5 2 ∫ 0 2 π d θ - ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ d θ

= 5 π - s e n 2 θ 2 0 2 π

= 5 π

Portanto gente:

∫ 0 2 π 2 + s e n 2 θ d θ ∫ 0 2 r 3 d r = 5 π ⋅ 1

Logo, a massa da superfície S vale:

5 π

Prontinho galera!

Curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

5 π

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