Calcule as seguintes integrais de superfícies.

d) ∫ ∫ x 2 z + y 2 z d S , S é a semiesfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   z ≥ 0

Passo 1

Beleza meu parceiro? Yuri aqui, e agora vamos calcular nossa integral de superfície.

Para facilitar a minha vida e a sua vida, vamos utilizar as coordenadas esféricas, onde

r ϕ , θ = 2 sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ i + 2 sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ j + 2 cos ⁡ ϕ k

E temos como algo já manjando nesses casos, que

r ϕ × r θ = 4 sin ⁡ ϕ

Passo 2

Então, nossa integral escrita em termos paramétricos se torna

= ∬ S   x 2 z + y 2 z d S

= ∬ S   f ϕ ,   θ r ϕ × r θ d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π   ∫ 0 π 2   4 sen 2 ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 4 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

Agora resolvendo a integral

= ∫ 0 2 π   ∫ 0 π 2   4 sen 2 ⁡ ϕ 2 cos ⁡ ϕ 4 sen ⁡ ϕ d ϕ d θ

= ∫ 0 2 π   32 d θ ∫ 0 π / 2   s e n 3 ⁡ ϕ c o s ⁡ ϕ d ϕ = 32 [ θ ] 0 2 π sen 4 ⁡ ϕ 4 0 π / 2

= 32 2 π 1 4

= 16 π

Resposta

= 16 π

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