Um campo de vetores F → em R 2 se diz radial (ou central) se existe uma função g : R → R tal que F ��� x , y = g r → r → , onde r → = x i → + y j → . Suponha que g é de classe C 1 . Mostre que F →   é conservativo.

Passo 1

Para mostrar que um campo de vetores F em R 2 é conservativo, precisamos verificar se ele satisfaz as condições do teorema fundamental do cálculo para campos conservativos, que diz que um campo vetorial é conservativo se, e somente se, a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Dado o campo de vetores F → x , y = g r → r → , onde r → = x i → + y j → é uma função de classe C 1 de R em R queremos verificar se a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Vamos denotar um caminho fechado como C e parametrizá-lo por r → = x i → + y j → , onde a ≤ t ≤ b e r ( a )   =   r ( b ) , pois o caminho é fechado.

A integral de linha do campo F ao longo do caminho C é dada por:

∫ F ⋅ d r = ∫ g r r ⋅ d r = ∫ ( g r x i + y j ⋅ ( x ' i + y ' i ) d t

Aqui, x ' e   y ' são as derivadas de x   e   y em relação a t ,   respectivamente.

Passo 2

Agora, usamos o fato de que r = x i + y j e, portanto ,   | r | =   x 2 + y 2 . Isso nos permite escrever:

∫ ( F · d r )   =   ∫ ( g x 2 + y 2 ( x i + y j ) · ( x ' i + y ' j )   d t

Simplificando ainda mais:

∫ ( F · d r )   =   ∫ ( g x 2 + y 2 ( x x ' + y y ' )   d t

Agora, usando o Teorema Fundamental do Cálculo para uma função composta, sabendo que g é C 1 , podemos derivar a função composta g x 2 + y 2 em relação a t :

d d t g x 2 + y 2 = g ' ( x 2 + y 2 *   1 2 x 2 + y 2 * ( 2 x x ' + 2 y y ' )

Passo 3

Simplificando:

d d t g x 2 + y 2   = g ' x 2 + y 2 * ( x x ' + y y ' )

Agora, substituímos isso na integral de linha:

∫ ( F · d r )   =   ∫ g ' x 2 + y 2 * x x ' + y y ' d t

Passo 4

Reconhecemos que g ' x 2 + y 2   é a derivada de uma função em relação a t .

Portanto, a integral acima é a integral de uma derivada e, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral é igual à diferença da função avaliada nos pontos finais do intervalo a , b ;

∫ ( F · d r )   = g x b 2 + y b 2   - g ( x a 2 + y a 2 )  

Dado que o caminho é fechado, temos r a = r b o que significa que x a = x b   e   y a = y b .

Isso implica que x a 2 + y a 2 = x b 2 + y b 2 , portanto:

∫ ( F · d r )   = g x a 2 + y a 2 - g x a 2 + y a 2

A subtração acima resulta em zero:

∫ ( F · d r )   =   0

Isso mostra que o campo de vetores F é conservativo, pois a integral de linha ao longo de qualquer caminho fechado é zero.

Portanto, o campo F é conservativo quando g é de classe C 1 .

Resposta

Portanto, o campo F é conservativo quando g é de classe C 1 .

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