( Cap. 16.7- Exercício 19) Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S z + x 2 y d S

S é a parte do cilindro y 2 + z 2 = 1 que está entre os planos x = 0 e x = 3 no primeiro octante

Passo 1

Respira e vamos pra mais uma rs!

A nossa questão deseja saber qual é a integral de superfície S , bom primeiro vamos relembrar a fórmula que mais utilizamos para resolver essas questões:

∬ S f x , y , z d S = ∬ D f r u , v r u × r v d A

Geralmente ao iniciar a resolução, o primeiro passo é a parametrização caso a questão não traga as equações nesse formato. Nesse caso, a questão não nos deu as equações parametrizadas. Então deve-se primeiro realizar esse procedimento para depois aplicar na nossa fórmula.

Passo 2

Pessoal, vamos ter S dado por:

r u , v = u i + c o s v j + s e n v k , 0 ≤ u ≤ 3,0 ≤ v ≤ π 2

Então,

r u × r v = i + 0 j + 0 k × 0 i − s e n v j + c o s v k = − c o s v j − s e n v j

Agora só falta encontrar o módulo,

r u × r v = c o s 2 v + s e n 2 v = 1

Assim, podemos escrever a integral:

∫ ∫ S z + x 2 y d S = ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 s e n v + u 2 c o s v 1 d u d v

Passo 3

Show! Agora vamos resolver a integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 3 s e n v + u 2 c o s v d u d v = ∫ 0 π 2 u s e n v + u 3 3 c o s v 0 3 d v = ∫ 0 π 2 3 s e n v + 9 c o s v d v = − 3 c o s v + 9 s e n v 0 π 2 = 0 + 9 + 3 − 0 = 12

Tudo ok? Pessoal?

Resposta

12

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