Considere o campo F → ( x , y , z ) = ( x , y , z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 . O trabalho realizado para deslocar uma partícula ao longo de uma curva lisa e simples contida na esfera x 2 + y 2 + z 2 = 4 com ponto inicial ( 2,0 , 0 ) e ponto final ( 1,1 , 2 ) é

( a )   0

( b )   1

( c )   π / 4

( d )   π / 3

( e )   π / 2

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos que o campo vetorial

F → ( x , y , z ) = ( x , y , z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

o trabalho é obtido através da seguinte integração

W = ∫ γ F → ⋅ d r →

em que a curva é percorrida desde o ponto ( 2,0 , 0 ) até o ponto ( 1,1 , 2 ) . Essa curva é bastante complicada de se parametrizar, no entanto, existe uma maneira de calcular esse trabalho se tivermos que o campo F → for conservativo! Vamos verificar isso! E, se for verdade, usar o teorema do trabalho para campos conservativos como

W a b = ∫ a b F → ⋅ d r → = ϕ [ b ] - ϕ ( a )

Bora tentar fazer isso! Vem comigo!

Passo 2

Um campo conservativo deve obedecer duas condições

  • r o t ( F → ) = 0 →
  • Deve ser possível obter uma funç��o potencial tal que ∇ ϕ ( x , y , z ) = F → ( x , y , z )

Vamos começar analisando a condição do rotacional! Usando a seguinte definição

r o t ( F → ) = [ ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z ) , ( ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x ) , ( ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y ) ]

Usando o nosso campo vetorial como

  F → ( x , y , z ) = ( x , y , z ) ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 = ( x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 , y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 , z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 )

Todas as derivadas são calculadas de maneira análoga, um exemplo é a seguinte

∂ F z ∂ y = ∂ ∂ y [ z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 ] = - 3 y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

em que usei a regra do quociente, da mesma maneira, temos que

∂ F y ∂ z = - 3 y z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

∂ F x ∂ z = - 3 x z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

∂ F z ∂ x = - 3 x z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

∂ F y ∂ x = - 3 x y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

∂ F x ∂ y = - 3 x y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3

Portanto, a primeira condição é obedecida, já que

r o t ( F → ) = [ ( 0 ) , ( 0 ) , ( 0 ) ] = 0 →

Vamos checar se existe agora uma função potencial! Saca só!

Passo 3

A função de potencial é definida tal que

∇ → ϕ = F →

usando a definição do operador nabla ∇ → = [ ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ] , temos que a função potencial deve obedecer os vínculos

∂ ϕ [ x , y , z ] ∂ x = F x = x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2

∂ ϕ [ x , y , z ] ∂ y = F y = y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2

∂ ϕ [ x , y , z ] ∂ z = F z = z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2

precisamos integrar parcialmente cada uma das funções acima, para obter

ϕ [ x , y , z ] = ∫ x   d x ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 + f ( y , z )

ϕ [ x , y , z ] = ∫ y   d y ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2 + f ( x , z )

ϕ [ x , y , z ] = ∫ z   d z ( x 2 + y 2 + z 2 ) 3 / 2   +   f ( x , y )

usando uma mudança de variáveis da forma

ϕ [ x , y , z ] =   - 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 + f ( y , z )

ϕ [ x , y , z ] = - 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2 + f ( x , z )

ϕ [ x , y , z ] = - 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2   +   f ( x , y )

note que as funções em aberto podem ser identificadas como o próprio termo em comum em cada equação, portanto, temos que

ϕ [ x , y , z ] = - 2 ( x 2 + y 2 + z 2 ) 1 / 2

Vamos finalmente calcular a nossa integral de linha! Saca só!

Passo 4

Como o campo é conservativo podemos usar o teorema da integral de linha para escrever

W a b = ϕ [ 2,0 , 0 ] - ϕ [ 1,1 , 2 ]

pois, o caminho γ é totalmente irrelevante para o resultado! Usando as coordenadas dos pontos na função, temos que

ϕ [ 2,0 , 0 ] = - 2 ( 2 2 + 0 2 + 0 2 ) 1 / 2 = - 1

e, também temos que

ϕ [ 1,1 , 2 ] = - 2 ( 1 2 + 1 2 + 2 2 ) 1 / 2 = - 1

Portanto, temos que

W a b = - 1 - ( - 1 ) = 0

Alternativa ( a ) . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( a )   W = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1