(ii) Escolha uma das estratégias para resolver o ∫ C F d r .

Passo 1

Primeiro vamos começar parametrizando nossa região C,

x   = 3 cos ⁡ θ

y = 2 sin ⁡ θ

Como iremos percorrer toda a nossa elipse, temos que 0 ≤ θ ≤ 2 π .

Passo 2

Agora iremos calcular r → ( θ ) :

r → θ = d 3 cos ⁡ θ d θ , d ( 2 sin ⁡ θ ) d θ = ( - 3 sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ θ )

Aplicando a parametrização

F x θ ,   y θ = ( 27 cos 3 ⁡ θ + 3 cos ⁡ θ 4 sin 2 ⁡ θ , 2 sin ⁡ θ ( 9 cos 2 ⁡ θ ) + 8 sin 3 ⁡ θ + 9 cos ⁡ θ )

Passo 3

Agora substituído na nossa integral,

∫ 0 2 π ( 27 cos 3 ⁡ θ + 3 cos ⁡ θ 4 sin 2 ⁡ θ , 2 sin ⁡ θ ( 9 cos 2 ⁡ θ ) + 8 sin 3 ⁡ θ + 9 cos ⁡ θ ) ∙ - 3 sin ⁡ θ ,   2 cos ⁡ θ d θ

Fazendo o produto escalar

= - 81 cos 3 ⁡ θ sin ⁡ θ - 36 cos ⁡ θ sin 3 ⁡ θ + 36 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ + 18 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ + 18 cos 2 ⁡ θ

= 18 cos 2 ⁡ θ - 45 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - 18 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ

Agora partindo para realmente integrarmos

∫ 0 2 π 18 cos 2 ⁡ θ - 45 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - 18 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

∫ 0 2 π 18 cos 2 ⁡ θ d θ - ∫ 0 2 π 45 sin ⁡ θ cos 3 ⁡ θ d θ - ∫ 0 2 π 18 sin 3 ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

= 18 π - 0 - 0

= 18 π

Resposta

= 18 π

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