Nos exercícios 05 → 15 , calcule a área da superfície S .

10. S é a porção do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos calcular a área da superfície do plano 2 x + 2 y + z = 4 que está no primeiro octante.

Lembra como podemos fazer isso? 😬

Para calcular a área de uma superfície parametrizada podemos aplicar uma formulinha dada por

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S pode ser obtido como N → d A e N → é o vetor normal à superfície...

Para obter o vetor normal N → podemos derivar a função vetorial σ parcialmente em relação às suas parametrizações e calcular o produto vetorial dos vetores obtidos.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, como a região que limita nossa superfície é cartesiana, podemos parametrizar a nossa curva a partir das coordenadas cartesianas mesmo... x continua sendo x , y sendo y e z podemos isolar em um lado da igualdade e defini-lo em função de x e y .

2 x + 2 y + z = 4 → z = 4 - 2 x - 2 y

Portanto, temos que

σ ( x , y ) = x , y , 4 - 2 x - 2 y

Começamos calculando o vetor normal a superfície primeiro derivando σ em relação a x ...

σ x = ∂ x ∂ x , ∂ y ∂ x , ∂ 4 - 2 x - 2 y ∂ x

σ x = 1 , 0 , - 2

Agora com relação a y ...

σ y = ∂ x ∂ y , ∂ y ∂ y , ∂ 4 - 2 x - 2 y ∂ y

σ y = 0 , 1 , - 2

Calculando o produto vetorial entre σ x e σ y ...

N → = σ x × σ y = i j k 1 0 - 2 0 1 - 2

N → = 2 , 2 , 1

Calculando o modulo desse vetor, temos

N → = 2 2 + 2 2 + 1 2

N → = 9

N → = 3

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Só nos resta saber como vamos definir d A ...

Pra isso podemos olhar para a projeção da nossa região no plano x y , ou seja, podemos olhar de cima e definir como x e y varia...

Pra isso podemos fazer z = 0

2 x + 2 y + 0 = 4 → y = 2 - x

Com isso podemos definir que y varia no intervalo 0 ≤ y ≤ 2 - x .

Mas fazendo agora y = 0 , temos

0 = 2 - x → x = 2

Vemos que x varia no intervalo 0 ≤ x ≤ 2

Dessa forma d A = d y d x .

Substituindo essas informações na integral e aplicando os limites de integração, temos

∫ ∫ S 1 d S → ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x 3 d y d x

Integrando com relação a y ...

∫ 3 d y = 3 y

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 - x 3 d y = 3 2 - x - 3 0

∫ 0 2 - x 3 d y = 6 - 3 x

Integrando o resultado em função de x .

∫ 6 - 3 x d x = 6 x - 3 x 2 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 6 - 3 x d x = 6 2 - 3 2 2 2 - 6 0 - 3 0 2 2

∫ 0 2 6 - 3 x d x = 6

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

A = 6

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