Nos exercícios 16 -> 25, calcule ∬ S f x , y , z d s

f x , y , z = x + y

S   a   p o r ç ã o   d o   p l a n o   2 x + 3 y + z = 6   s i t u a d a   n o   p r i m e i r o   o c t a n t e

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Para determinarmos a área de uma superfície devemos fazer:

A S = ∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A

Onde a função z = f ( x , y )   é uma função das variáveis x e y , dentro da região no plano x y .

Aqui a função é:

z = 6 - 2 x - 3 y

No primeiro octante, isso quer dizer que, no plano x y , ou seja, com z = 0 temos:

6 = 2 x + 3 y

Isolando y   t e m o s :

y = 6 - 2 x 3

Então os limites são:

0 ≤ y ≤ 6 - 2 x 3

E para x , é só colocar y = 0 :

0 ≤ x ≤ 3

Então o diferencial de área vai ser d y d x e o intervalo:

0 ≤ x ≤ 3 0 ≤ y ≤ 2 - 2 3 x

Passo 2

Agora temos que calcular os valores de ∂ z ∂ x e ∂ z ∂ y .

A função z é: z = 6 - 2 x - 3 y . As derivadas parciais são:

∂ z ∂ x = - 2

∂ z ∂ y = - 3

Assim temos:

1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   = 1 + - 2 2 + - 3 2   = 14

Passo 3

Agora vamos montar a integral:

∬ 1 + ∂ z ∂ x 2 + ∂ z ∂ y 2   d A = ∫ 0 3 ∫ 0 2 - 2 3 x 14 d y d x

A = 14 ∫ 0 3 y 0 2 - 2 3 x d x = 14 ∫ 0 3   2 - 2 3 x   d x = 14 2 x - 2 6 x 2 0 3

A = 14 3.2 - 2 6 3 2 - 0 = 14 . 6 - 3 = 3 14

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Resposta

3 14

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