A integral de linha do campo F → ( x , y , z ) = [ c o s ( x 4 ) ,   x + s e n ( y 2 ) , t a n ( z ) ] sobre a curva dada pela intersecção do plano z = 2 x   + 7 com o parabolóide z = x 2 + y 2 , orientada de modo que sua projeção no plano O x y é percorrida no sentido anti-horário é

( a )   0

( b )   2 π

( c )   2 2 π

( d )   4 π

( e )   8 π

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Temos que o campo vetorial

F → ( x , y , z ) = [ c o s ( x 4 ) ,   x + s e n ( y 2 ) , t a n ( z ) ]

Uma integral de linha é tal que

∫ γ F → ⋅ d r →

a curva γ é obtida através da intersecção do parabolóide z = x 2 + y 2 com o plano z = 2 x + 7 . O melhor método de resolver essa integral de linha dependerá de o quão complicada por a parametrização desta curva γ . Já adianto que este campo não é conservativo, então não podemos usar o teorema da integral de linha, no fim das contas teremos que decidir entre o teorema de Stokes

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S [ r o t ( F → ) ] ⋅ n   → d S

ou a definição de integral de linha, no entanto, essa curva parece ser bastante complicada! Bora tentar verificar isso! Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional usando a definição

r o t ( F → ) = [ ( ∂ F z ∂ y - ∂ F y ∂ z ) , ( ∂ F x ∂ z - ∂ F z ∂ x ) , ( ∂ F y ∂ x - ∂ F x ∂ y ) ]

usando o formato de nosso campo vetorial, temos que

r o t ( F → ) = [ ( ∂ ∂ y [ c o s ( x 4 ) ] - ∂ ∂ z [ x + s e n ( y 2 ) ] ) , ( ∂ ∂ z [ c o s ( x 4 ) ] - ∂ ∂ x [ t a n ( z ) ] ) , ( ∂ ∂ x [ x + s e n ( y 2 ) ] - ∂ ∂ y [ c o s ( x 4 ) ] ) ]

realizando as derivadas parciais, lembrando que as variáveis que não estão sendo derivadas são tomadas como constantes, temos que

r o t ( F → ) = [ ( 0 - 0 ] ) , ( 0 - 0 ) , ( 1 - 0 ) = ( 0,0 , 1 )

Bem mais simples que o campo vetorial original não é? Agora, vamos dar uma olhada na nossa curva γ e a superfície obtida durante a intersecção! Saca só!

Passo 3

A nossa intersecção se dá da seguinte maneira

Note que temos uma elipse como nossa curva, e a superfície S da qual ela é fronteira é simplesmente o plano z = 2 x + 7 . Portanto, podemos identificar o vetor normal diretamente pela equação do plano como

n → = ( - 2,0 , 1 )

Vamos substituir isso em nossa integral de superfície! Temos que

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S [ r o t ( F → ) ] ⋅ n   → d S = ∫ ∫ S ( 0,0 , 1 ) ⋅ ( - 2,0 , 1 ) d S

realizando o produto escalar, temos que

∫ γ F → ⋅ d r → = ∫ ∫ S d S

A integral do lado direito é a área da elipse delimitada pela nossa curva! Então, vamos encontrar essa elipse e calcular a sua área! Bora lá!

Passo 4

Fazendo a intersecção do plano com o parabolóide obtemos que

x 2 + y 2 = 2 x + 7

podemos passar 2 x para o outro lado da equação e somar e subtrair 1 para completar o quadrado, de forma que

( x + 1 ) 2 + y 2 = 8

nossa elipse na verdade é uma circunferência de raio R = 8 . Portanto, sua área é

S = π R 2 = 8 π

E, nossa integral de linha pode ser identificada como

∫ γ F → ⋅ d r → = 8 π

Alternativa ( e ) . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( e )   ∫ γ F → ⋅ d r → = 8 π

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