Seja γ uma curva plana simples, fechada e lisa por partes, percorrida uma vez no sentido horário. Dê todos os valores possíveis para

  1. ∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2

Passo 1

A integral dada

∫ γ - y d x + x d y x 2 + y 2

está relacionado ao conceito de integral de linha, onde estamos calculando a integral de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada γ .

O campo vetorial é dado por F   = - y ,   x x 2 +   y 2   ,   e estamos interessados em calcular a integral de linha ∫ γ   F   ·   d r , onde dr é o vetor tangente à curva γ .

No entanto, a escolha do sentido de percorri mento da curva γ é importante, pois o integral de linha pode ter valores diferentes dependendo disso.

Se γ é percorrida no sentido anti-horário, o sinal do integral será positivo, enquanto se γ é percorrida no sentido horário, o sinal do integral será negativo.

Passo 2

A curva   γ é percorrida no sentido horário, então vamos calcular o integral considerando essa orientação.

Agora, para calcular o integral, podemos usar o Teorema de Green, que relaciona o integral de linha de um campo vetorial ao redor de uma curva fechada com a integral dupla sobre a região delimitada pela curva.

O Teorema de Green afirma:

∫ γ   F   ·   d r   =   ∬ D   ∂ Q ∂ x   - ∂ P ∂ y   d A ,

onde F   =   ( P ,   Q ) é o campo vetorial e D é a região delimitada pela curva γ.

Passo 3

No nosso caso, F   = - y ,   x x 2 +   y 2 , então P   =   - y x 2 +   y 2 e Q   = x x 2 +   y 2 .

Calculando as derivadas parciais:

∂ Q ∂ x   = x 2 -   y 2 x 2 +   y 2 2  

∂ P ∂ y   = x 2 -   y 2 x 2 +   y 2 2

Portanto, ∂ Q / ∂ x   -   ∂ P / ∂ y   =   0 .

Passo 4

Isso significa que o integrando do Teorema de Green é zero, e consequentemente, o integral de linha ao longo de uma curva fechada simples no sentido horário para o campo

F   = - y ,   x x 2 +   y 2

é zero:

∫ γ - y d x   +   x d y x 2 +   y 2   =   0 .  

Isso significa que, independentemente da forma específica da curva γ , o integral resultará em zero quando for percorrido no sentido horário.

Resposta

Isso significa que, independentemente da forma específica da curva γ , o integral resultará em zero quando for percorrido no sentido horário.

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