Seja   S a parte da superfície y = 1 - x 2 com y ≥ 0 e x ≥ 0 , limitada pelos planos z = 0 e z = 8 . Então, o valor de ∫ ∫ S x d σ é:

a) 2 3 3 3 - 1

b) 2 3 2 2 - 1

c) 2 3 8 8 - 1  

d)   2 3 5 5 - 1

e)   2 3 7 7 - 1

Passo 1

Vamos lá! Tem um passo a passo para gente calcular essa integral de superfície escalar. Só seguir ele, que dá bom!

A gente vê que nossa superfície é uma curva y = 1 - x 2 , em x y , transladada na direção de z e que forma uma espécie de cilindro, tudo bem? Assim oh:

Então vamos começar parametrizando essa curva em x y . Podemos usar a parametrização natural assim:

y = 1 - x 2

Nosso parâmetro pode ser o próprio x , e a nossa parametrização dessa curva fica:

r x = x , 1 - x 2

Mas precisamos que o domínio dessa curva atenda a dois critérios:

x ≥ 0

E

y ≥ 0 ∴ 1 - x 2 ≥ 0 ∴ 1 ≥ x

Desse modo, o domínio desse parâmetro x é:

0 ≤ x ≤ 1

Mas lembra que a gente quer parametrizar uma superfície. Então precisamos de dois parâmetros. Como nossa curva só translada de z = 0 e z = 8 no eixo z para formar nosso cilindro, podemos dizer que a componente z é o próprio z , nosso segundo parâmetro.

E fazer algo assim:

ϕ x , z = x , 1 - x 2 , z

Com:

0 ≤ x ≤ 1 ,     0 ≤ z ≤ 8

Passo 2

Agora a gente calcula o vetor normal a nossa superfície:

ϕ x , z = x , 1 - x 2 , z

∂ ϕ ∂ x = 1 , - 2 x , 0

∂ ϕ ∂ z = 0,0 , 1

N → = i ^ j ^ k ^ 1 - 2 x 0 0 0 1 = - 2 x i ^ - 1 j ^ + 0 k ^

N → = - 2 x , - 1,0

E como a integral é escalar, a gente precisa tirar o módulo desse cara:

N → = 4 x 2 + 1

Passo 3

Para que fizemos tudo isso? Cara, para montar nossa integral:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ D f ϕ x , z N → d x d z

Para a gente:

∫ ∫ S f x , y , z d S = ∫ ∫ S x d σ

f x , y , z = x

E como na parametrização, a componente x é o próprio x . Quando a gente substitui a nossa parametrização nessa f , ela nem muda:

f ϕ x , z = x

N → = 4 x 2 + 1

E o domínio D é o domínio da parametrização:

0 ≤ x ≤ 1

0 ≤ z ≤ 8

Aí a integral fica:

∫ ∫ S x d σ = ∫ 0 8 ∫ 0 1 x 4 x 2 + 1 d x d z

Passo 4

Calculando essa belezura:

∫ ∫ S x d σ = ∫ 0 8 ∫ 0 1 x 4 x 2 + 1 d x d z

Vamos usar uma substituição simples na integral de dentro:

u = 4 x 2 + 1 ,     d u d x = 8 x ∴ d u 8 = x   d x

Os novos extremos de integração ficam:

u 1 = 4 ⋅ 0 2 + 1 = 1

u 2 = 4 ⋅ 1 2 + 1 = 5

E a integral mudada é:

∫ ∫ S x d σ = ∫ 0 8 ∫ 1 5 u 8 d u d z

∫ ∫ S x d σ = 1 8 ∫ 0 8 u 3 2 3 2 1 5 d z = 1 8 ∫ 0 8 2 3 5 5 - 1 d z

∫ ∫ S x d σ = 2 3 5 5 - 1

Resposta

Letra d

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