Seja S o pedaço do cone z = x 2 + y 2 acima do cilindro z 2 + x 2 = 1 e embaixo do cilindro z 2 + y 2 = 4 . Calcule a área da superfície S.

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão foi dito que temos um solido S que está dentro do cone descrito por z = x 2 + y 2 acima de um cilindro descrito por z 2 + x 2 = 1 e abaixo de outro cilindro descrito por z 2 + y 2 = 4 .

Com base nesse sólido, temos que descobrir a área da sua superfície.

E aí! Como podemos fazer para obter essa área? 👀

A gente até consegue calcular uma área sem vê-la, mas você concorda que fica muito mais difícil? já que não temos alguns parâmetros mentais para ajudar a gente.

Dessa forma podemos começar esboçando as curvas que limitam nosso objeto.

A equação z 2 + x 2 = 1 descreve um cilindro deitado no eixo y , a equação z 2 + y 2 = 4 descreve um cilindro deitado no eixo x e a equação z = x 2 + y 2 descreve um cone de cabeça para baixo.

Esboçando essas equações em R 3

É um negocio muito louco, não é? 👀

Passo 2

Perceba que nesse sólido queremos apenas a superfície azul limitada pelos cilindros verde e amarelo.

Lembrando lá de integrais de superfícies, em um caso escalar, quando temos que obter a área de uma superfície temos de calcular

∫ ∫ S 1 d S

Onde d S o obtido por um vetor normal à superfície

d S = N → d x d y

Nesse ponto, o segredo é parametrizar a superfície que queremos e calcular um vetor normal a essa superfície.

S são os limites de integração que vamos obter na projeção da superfície no plano x y .

Entendeu? Bora começar!

No caso escalar onde z é explicito na função, o vetor normal é obtido a partir do gradiente

N → = ∂ x 2 + y 2 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 ∂ y , ∂ z ∂ z

Calculando a derivada parcial de x 2 + y 2 com relação a x , temos que aplicar a regra da cadeia já que x 2 + y 2 é uma função composta.

Lembrando que a regra da cadeia é dada pela derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

Substituindo x 2 + y 2 por u na derivada de fora, vamos chegar em

∂ x 2 + y 2 ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x · ∂ u ∂ u

∂ x 2 + y 2 ∂ x = ∂ x 2 + y 2 ∂ x · ∂ u 1 2 ∂ u

Pelo método de derivação polinomial, temos

∂ x 2 + y 2 ∂ x = 2 · x 2 - 1 + 0 y 2 · 1 2 u 1 2 - 1 = 2 x · 1 2 u - 1 2

∂ x 2 + y 2 ∂ x = 2 x 2 u 1 2 = x u 1 2

Substituindo u por x 2 + y 2 de volta, chegamos em

∂ x 2 + y 2 ∂ x = x x 2 + y 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada de x 2 + y 2 com relação a y .

Perceba que vamos usar os mesmo métodos, porem agora com relação a y .

Derivando x 2 + y 2 pela regra da cadeia...

∂ x 2 + y 2 ∂ y = ∂ x 2 + y 2 ∂ y · ∂ u ∂ u

∂ x 2 + y 2 ∂ y = ∂ x 2 + y 2 ∂ y · ∂ u 1 2 ∂ u

Pelo método de derivação polinomial, temos

∂ x 2 + y 2 ∂ y = 0 x 2 + 2 · y 2 - 1 · 1 2 u 1 2 - 1 = 2 y · 1 2 u - 1 2

∂ x 2 + y 2 ∂ y = 2 y 2 u 1 2 = y u 1 2

Substituindo u por x 2 + y 2 de volta, chegamos em

∂ x 2 + y 2 ∂ y = y x 2 + y 2

E rapidinho, por último, derivando z com relação a z ...

∂ z ∂ z = 1

Dessa forma, nosso vetor normal fica como

N → = ∂ x 2 + y 2 ∂ x , ∂ x 2 + y 2 ∂ y , ∂ z ∂ z

N → = x x 2 + y 2 , y x 2 + y 2 , 1

Interessante, não é? 🤩

Passo 4

E agora, nos resta calcular o modulo desse vetor.

Dado um vetor V → = a , b , c , seu módulo é calculado como V → = a 2 + b 2 + c 2 , portanto

N → = x x 2 + y 2 2 + y x 2 + y 2 2 + 1 2

Como a b 2 = a 2 b 2 , então

N → = x 2 x 2 + y 2 2 + y 2 x 2 + y 2 2 + 1

E também quando temos a 2 = a , logo

N → = x 2 x 2 + y 2 + y 2 x 2 + y 2 + 1 = x 2 + y ² x 2 + y 2 + 1

Simplificando...

N → = 1 + 1

N → = 2

Com isso, dado que d S = N → d x d y , nossa integral fica

∫ ∫ S 1 d S → ∫ ∫ S 2 d x d x

2 ∫ ∫ S d x d y

Perceba que ∫ ∫ S d x d y é a área projetada no plano x y da superfície que estamos interessados.

Bora ver que região é essa?

Passo 5

Então vamos eliminar z dos limites de S .

O limite inferior é dado pelo cilindro z 2 + x 2 = 1 se substituirmos a nossa superfície z nessa equação, temos

x 2 + y 2 2 + x 2 = 1 → 2 x 2 + y 2 = 1

Essa equação é familiar para a gente, não é?

x 2 1 / 2 + y 2 = 1

Onde a = 1 / 2 e b = 1

Se fizermos o mesmo para o limite superior de S , onde o cilindro é dado pela equação z 2 + y 2 = 4 . Substituindo nossa superfície z nessa equação, temos

x 2 + y 2 2 + y 2 = 4   → x 2 + 2 y 2 = 4

Essa equação também é muito parecida com a equação de uma elipse, organizando esse resultado, temos

x 2 4 + y 2 2 = 1

Se esboçarmos os gráficos no plano x y , podemos visualizar a região que queremos integrar.

A curva verde representa o limite inferior de S e a curva roxa representa o limite superior de S .

Como uma elipse está em pé e a outra está deitada, seria muito difícil definir os limites de integração em uma integral só.

Mas você concorda que a área que estamos integrando é a área limitada pela curva roxa menos a área limitada pela curva verde?

Então podemos calcular a área maior e subtrair da área menor, não é?

Entendeu? 👀

Passo 6

Como a integral da área de uma superfície é

A S = 2 ∫ ∫ S d x d y

Se ∫ ∫ S d x d y = S 1 - S 2 e a área de uma elipse é dada por a · b · π , ou seja

S 1 = a 1 · b 1 · π

S 2 = a 2 · b 2 · π

S 1 é representada pela equação x 2 4 + y 2 2 = 1 , onde a 1 = 2 e b 1 = 2 .

S 2 é representada pela equação x 2 1 / 2 + y 2 = 1 , onde a 2 = 1 / 2 e b 2 = 1 .

Com isso

S 1 = 2 · 2 · π = 2 2 π

S 2 = 1 2 · 1 · π = π 2

Logo...

∫ ∫ S d x d y = 2 2 π - π 2 = 3 2 π 2

Substituindo essa informação em A S , vamos finalmente obter a área da nossa superfície.

A S = 2 ∫ ∫ S d x d y

A S = 2 3 2 π 2

Como 2 · 2 = 2

A S = 3 · 2 · π 2

A S = 3 π

Chegamos ao fim! A área da nossa superfície S limitada por aquelas regiões bem estranhas é igual a 3 π !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A S = 3 π

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 y z d S , S é a parte do plano z = 1 + 2 x + 3 y Que está acima do retângulo 0,3 × 0,2 .
Determine a área da superfície.A parte do cone z = x 2 + y 2 que se encontra entre o plano y = x e o cilindro y = x 2 .
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Encontre a área da superfície com precisão de quatro casas decimais, expressando-a em termos de um a integral unidimensional e usando sua calculadora para estimar a integral.A Parte da superfície z =
Calcule a integral de superfície. ∬ x 2 + y 2 d S , S é a superfície com equação vetorial. r u , v =2 u v , u 2 - v 2, u 2 + v 2, u 2 + v 2 ≤ 1